CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuaciones Diferenciales
1. Una ecuacion que establece una relacion entre la variable independiente x, la función buscada y= y(x) y sus derivadas y, y, y, ..., y) se llama ecuación diferencial.
2. Llamamos integrar la ecuación diferencial al proceso por el que se encuentra, a partir de la ecuación diferencial dada, la relación directa entre x e y.
3. Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
4. Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales
Clasificacion
1. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad: Según su tipo distinguimos entre: • Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes.
  1. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
  2. Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y sus derivadas.
  3. • Ecuaciones diferenciales ordinarias: Estas ecuaciones contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente. Si una ecuación diferencial contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
    1. • Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes. Una ecuación en la que se presentan las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.
      1. • Ecuaciones diferenciales de retraso (oretardo): Estan caracterizadas por la presencia de un desplazamiento t − t0 en el argumento de la función incógnita u(t). En general, son más difíciles de manejar que las E. D. sin retraso. No nos ocuparemos aquí de ellas.
2. Ecuaciones Lineales
  1. Se dice que una ecuación diferencial y = f(x, y, y0, · · · , yn−1) es lineal cuando f es una función lineal de y, y`, ..., yn−1). Puede adquirir la forma que se menciona abajo:
    1. Se puede escribir: an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + · · · + a1(x)y0 + a0(x)y = g(x)
    2. Se trata de una ecuación diferencial de grado 1 en y y en todas sus derivadas.
    3. Cada coeficiente solo depende de x.
  2. Soluciones
    1. Se llama solución (o integral) de la ecuación diferencial a cualquier función y = y(x) que introducida en la ecuación diferencial la transforma en igualdad. Una ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los parámetros. Se dice que la familia n-paramétrica G(x, y,C1,C2, · · · ,Cn) = 0 es la solución general de una ecuación diferencial de orden n si toda solución de esa ecuación se puede obtener partiendo de esa familia. Cada vez que se asignan valores a los parámetros se tiene una solución particular.
      1. Explicitas: La variable dependiente y se expresa tan solo en términos de la variable independiente x y constantes.
      2. Implícitas: Se trata de una relación G(x, y) = 0 en la que no se puede despejar y mediante funciones elementales. Son soluciones todas las y(x) que cumplen G(x, y) = 0.
3. CLASIFICACIÓN POR ORDEN.
  1. EDO de segundo orden
  2. El orden de una EDO o una EDP representa el orden de la derivada más alta presente en la ecuación.
  3. EDO de primer orden
    1. Por ejemplo, la EDO de primer orden 4xy'+ y = x puede escribirse también como:
      1. y, multiplicando ambos miembros de la última ecuación por dx obtenemos como se muestra abajo, que es la forma deseada.
  4. EDO de n-êsimo orden
    1. • Es implícita siendo F una función F: ⊂ R^n+2 −→ R con un subconjunto (generalmente abierto) de R^n+2.
      1. Donde F es una función con valores reales de n + 2 variables: x , y , y',,,,,y^(n)
    2. • Es explicita con f:D ⊂ Rn+1 −→ R una funcion definida en un subconjunto D (generalmente abierto) de Rn+1.
      1. con f:D ⊂ Rn+1 −→ R una función definida en un subconjunto D (generalmente abierto) de Rn+1.

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