Cálculo de una solución particular de la completa

Método de variación de constantes o de Lagrange

Resolver la ecuación homogénea asociada.
Comprobar si las n soluciones son lineálmente independientes:
Sean \(y_1, y_2,..., y_n\) soluciones de la homogénea, y \(a_n, a_{n-1},..., a_0\) funciones o constantes. Entonces:\(y_1, y_2,..., y_n\) son lineal mente independientes sí y solo sí:\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \ldots & y_n \\ y'_1 & y'_2 & \ldots & y'_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_1^{n-1} & y_2^{n-1} & \ldots & y_n^{n-1} \end{vmatrix} \not= 0\]
Siendo \(y_1, y_2,..., y_n\) soluciones l.i. de la ecuación diferencial \(a_ny^{(n)}+a_{n-a}y^{(n-1)}(x)+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=0\) y \(b\) una función continua en un intervalo \(I\); \(a\) un punto cualquiera de \(I\); \(v_1, v_2, ..., v_n\) las componentes de una función \(V: I \rightarrow R^n\) por medio de la expresión: \[V(x)=\int_a^x b(t) [W(t)]^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} dt\]
Entonces la solución particular de la ED completa es:\[y_{PC}=v_1y_1+v_2y_2+...+v_ny_n\]

Método de los coeficientes indeterminados
Sea g una función definida del tipo \[g(x)=e^{ax}(P_j(x)cos(bx)+Q_k(x)sen(bx)\] donde a y b son constantes y \(P_j\) y \(Q_k\) polinomios de grado j y k respectivamente y sea la ecuación diferencial: \[a_0y^n+a_1y^{n-1}]+...+a_ny=g(x)\]
Entonces:

Si el numero \(a\pm bi\) no es solución del prolinomio característico de la ec. homogénea asociada: \[y_{PC}=e^{ax} \left( P^*_r(x)cos(bx)+Q^*_r(x)sen(bx) \right)\] donde \(P^*_r\) y \(Q^*_r\) son polinomios de grado menor o igual a \(r=máx \left\lbrace k,j \right\rbrace\).
Si el numero \(a\pm bi\) es solución de orden de multiplicidad m del prolinomio característico de la ec. homogénea asociada: \[y_{PC}=x^me^{ax}\left(P^*_r(x)cos(bx)+Q^*_r(x)sen(bx) \right)\]donde \(P^*_r\) y \(Q^*_r\) son polinomios de grado menor o igual a \(r=máx \left\lbrace k,j \right\rbrace\).
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EDOs Lineales, homogeneas, exactas y sistemas de EDOs