Mathematische Methoden der Theoretischen Physik

1

Welche(r) Wert(e) können für a eingesetzt werden, damit P ein Projektor ist?
\(\mathbf P=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\0&0&a\end{pmatrix}\)

1

Welche dieser Transformationen ist eine Isometrie?

1

Wenn eine unitäre Matrix nur reelle Einträge hat, nennt man sie

1

Welche dieser Transformationen sind normal?

1

Eine Transformation, die mit ihrer adjungierten kommutiert, nennt man .

1

Für welche Operatoren gilt der Spektralsatz?

1

Einen selbstadjungierten Operator nennt man auch

1

Ein linearer Operator A habe bezüglich der Basis B die Gestalt \begin{pmatrix} 1 & 1\\0&1\end{pmatrix}
Aussage: Auf den Operator A ist der Spektralsatz anwendbar, das heißt, er kann diagonalisiert werden und in seiner Eigenbasis dargestellt werden.

1

Die Projektoren zu den Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators A seien \( E_i\).

Aussage: Es gilt: \(\mathbb{1}=\sum_{i=1}^n \lambda_i E_i\)

1

Was trifft auf den metrischen Tensor zu?

1

Aussage:
Die Grassmann-Identität lautet:
\(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\)

1

Aussage:
Sei F eine Distribution und \(\varphi\) eine geeignete Testfunktion.
Es gilt: \(F'[\varphi]=(-1)^nF[\frac{d^n}{dx^n}\varphi]\)

1

Die Funktion \(\varphi(x)=e^{-\pi x^2}\) ist eine geeignete Testfunktion für temperierte Distributionen.

1

Eine Distribution ist ein lineares Funktional auf eine Testfunktion. Man kann daher sagen, dass Distributionen Elemente des Dualraums zum Raum der Testfunktionen sind.

1

Was ergibt die Deltadistribution angewandt auf eine geeignete Testfunktion?
\(\delta[\varphi]=?\)

1

Behauptung:
Die folgende Formeln ist richtig.
\(f(x)\delta(x-y)=f(y)\delta(x-y)=f(x)\delta(y-x)\)

1

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
a) \(x\cdot\delta(x)=0\)
b) Die Fouriertransformierte der \(\delta\) - "Funktion" ist eine konstante Funktion
c) Die Fouriertransformierte von 1 ist die Betragsfunktion
d) Die Ableitung der Betragsfunktion ist die Delta-Funktion
e) Die Heavisidefunktion \(H(x-y)\) ist null für \(y\gt x\)

1

Welche Formel ist richtig?
a) \(H(1-x)=-H(x-1)\)
b)\(H(1-x)=1-H(x-1)\)
c)\(H(x-1)=\frac1 2 H(1-x)-\frac 1 2\)

1

Sei A ein Operator, für den der Spektralsatz gilt.
Worüber macht der Spektralsatz keine Aussage?

1

Was wird von einem Hilbertraum gefordert?

1

Wie kann man die Länge eines Vektors \(\vec x\) in einem krummlinigen, nicht orthogonalen Koordinatensystem sinnvoll definieren?

a) \(\sqrt{x_ix_i}\)
b)\(\sqrt{x^ix^i}\)
c)\(\sqrt{x_ix^i}\)
d)\(\sqrt{x^ig_{ij}x^j}\)
e)\(\sqrt{x^ig^{ij}x^j}\)

Indexschreibweise, Vektorräume, Tensoren, Metrik, Distributionen, folgt lose dem Skriptum "Mathematical Methods of Theoretical Physics": https://arxiv.org/abs/1203.4558

Mathematische Methoden der Theoretischen Physik

Mathematische Methoden der Theoretischen Physik

Welche(r) Wert(e) können für a eingesetzt werden, damit P ein Projektor ist? \(\mathbf P=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\0&0&a\end{pmatrix}\)

Welche dieser Transformationen ist eine Isometrie?

Wenn eine unitäre Matrix nur reelle Einträge hat, nennt man sie

Welche dieser Transformationen sind normal?

Eine Transformation, die mit ihrer adjungierten kommutiert, nennt man .

Für welche Operatoren gilt der Spektralsatz?

Einen selbstadjungierten Operator nennt man auch

Ein linearer Operator A habe bezüglich der Basis B die Gestalt \begin{pmatrix} 1 & 1\\0&1\end{pmatrix} Aussage: Auf den Operator A ist der Spektralsatz anwendbar, das heißt, er kann diagonalisiert werden und in seiner Eigenbasis dargestellt werden.

Die Projektoren zu den Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators A seien \( E_i\). Aussage: Es gilt: \(\mathbb{1}=\sum_{i=1}^n \lambda_i E_i\)

Was trifft auf den metrischen Tensor zu?

Aussage: Die Grassmann-Identität lautet: \(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\)

Aussage: Sei F eine Distribution und \(\varphi\) eine geeignete Testfunktion. Es gilt: \(F'[\varphi]=(-1)^nF[\frac{d^n}{dx^n}\varphi]\)

Die Funktion \(\varphi(x)=e^{-\pi x^2}\) ist eine geeignete Testfunktion für temperierte Distributionen.

Eine Distribution ist ein lineares Funktional auf eine Testfunktion. Man kann daher sagen, dass Distributionen Elemente des Dualraums zum Raum der Testfunktionen sind.

Was ergibt die Deltadistribution angewandt auf eine geeignete Testfunktion? \(\delta[\varphi]=?\)

Behauptung: Die folgende Formeln ist richtig. \(f(x)\delta(x-y)=f(y)\delta(x-y)=f(x)\delta(y-x)\)

Welche Formel ist richtig? a) \(H(1-x)=-H(x-1)\) b)\(H(1-x)=1-H(x-1)\) c)\(H(x-1)=\frac1 2 H(1-x)-\frac 1 2\)

Sei A ein Operator, für den der Spektralsatz gilt. Worüber macht der Spektralsatz keine Aussage?

Was wird von einem Hilbertraum gefordert?

Welche(r) Wert(e) können für a eingesetzt werden, damit P ein Projektor ist?
\(\mathbf P=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\0&0&a\end{pmatrix}\)

Ein linearer Operator A habe bezüglich der Basis B die Gestalt \begin{pmatrix} 1 & 1\\0&1\end{pmatrix}
Aussage: Auf den Operator A ist der Spektralsatz anwendbar, das heißt, er kann diagonalisiert werden und in seiner Eigenbasis dargestellt werden.

Die Projektoren zu den Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators A seien \( E_i\).

Aussage: Es gilt: \(\mathbb{1}=\sum_{i=1}^n \lambda_i E_i\)

Aussage:
Die Grassmann-Identität lautet:
\(\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\)

Aussage:
Sei F eine Distribution und \(\varphi\) eine geeignete Testfunktion.
Es gilt: \(F'[\varphi]=(-1)^nF[\frac{d^n}{dx^n}\varphi]\)

Was ergibt die Deltadistribution angewandt auf eine geeignete Testfunktion?
\(\delta[\varphi]=?\)

Behauptung:
Die folgende Formeln ist richtig.
\(f(x)\delta(x-y)=f(y)\delta(x-y)=f(x)\delta(y-x)\)

Welche Formel ist richtig?
a) \(H(1-x)=-H(x-1)\)
b)\(H(1-x)=1-H(x-1)\)
c)\(H(x-1)=\frac1 2 H(1-x)-\frac 1 2\)

Sei A ein Operator, für den der Spektralsatz gilt.
Worüber macht der Spektralsatz keine Aussage?

Wie kann man die Länge eines Vektors \(\vec x\) in einem krummlinigen, nicht orthogonalen Koordinatensystem sinnvoll definieren?

a) \(\sqrt{x_ix_i}\)
b)\(\sqrt{x^ix^i}\)
c)\(\sqrt{x_ix^i}\)
d)\(\sqrt{x^ig_{ij}x^j}\)
e)\(\sqrt{x^ig^{ij}x^j}\)