Mathematische Methoden der Theoretischen Physik - Test 2

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Sei L ein Differentialoperator. Welche Voraussetzungen an L müssen gelten, damit die zu L gehörige Greensche Funktion mittels Fouriertransformation berechnet werden kann.

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Gegeben sei ein Sturm-Liouville Problem.
Die Bedingung \(y(a) = y(b)=0\) nennt man Randbedingung.
Die Bedingung \(y'(a)=y'(b)=0\) nennt man Randbedingung.
Es gibt auch noch Randbedingungen der Form \(y(a)=y(b)\) bzw. \(y'(a)=y'(b)\)

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Welche der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Sturm-Liouville Gestalt gebracht werden?

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Gegeben sei die Differentialgleichung
\(\frac d{dx}\left[p(x)\frac d{dx}\right]\phi(x)+[q(x)+\lambda\rho(x)]\phi(x)=0\)
\(x\in(a,b)\). Es sei weiters \(p'(x)\) und \(q(x)\) stetig und \(p(x)\gt0, \rho(x)\gt0\forall x\in(a,b)\)
Welche Aussagen treffen zu?

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Wie erhält man aus einer Differentialgleichung die Sturm-Liouville'sche Normalform, sofern sie existiert.

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Was darf nicht auftreten, damit ein Separationsansatz bei einer Differentialgleichung zum Erfolg führt?

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Stimmt diese Gleichung?
\(\Gamma(n)=(n+1)!\)

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Was ist eine Verallgemeinerung der Fakultät?

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Wie ist das Pochhammer-Symbol definiert?

a) \((a)_n := (a+n)(a+n-1) \dots (a+2)(a+1)\)
b) \((a)_n:= (a+n)(a+n-1) \cdots (a+1)a\)
c) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+2)(a+1)\)
d) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+1)a\)

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Wie kann die Fakultät geschrieben werden?

a) \(n!=\Gamma(n)\)
b) \(n!=\Gamma(n+1)\)
c) \(n!=\Gamma(n-1)\)
d) \(n!=(1)_n \), (Pochhammer-Symbol)
e) \(n!=(n)_n \), (Pochhammer-Symbol)
f) \(n! = B(2,n)\), Beta-Funktion

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Gegeben sei die Differentialgleichung
\(y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_2(x)y(x)=0\)
Wann ist die DGL eine Fuchsche Differentialgleichung?

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Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung der Fuchs'schen Klasse. Wir führen einen verallgemeinerten Potenzreihenansatz (Frobenius-Methode) durch. Durch Bestimmung des charakteristischen Exponenten können wir erkennen, ob wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung leicht finden können. Wann ist dies nicht der fall?

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Welche Normierung wählt man für die Legendre-Polynome?

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Wie können die Legendre-Polynome erzeugt oder definiert werden?

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Sei \(n\) gerade.
Wie ist die Doppelfakultät \(n!!\) definiert?

Green'sche Funktion, Sturm-Liouville-Theorie, Differentialgleichungen der Fuchs'schen Klasse, Gamma-Funktion, Pochhammer-Symbole, Legendre-Polynome, folgt lose dem Skriptum "Mathematical Methods of Theoretical Physics": https://arxiv.org/abs/1203.4558

Mathematische Methoden der Theoretischen Physik - Test 2

Sei L ein Differentialoperator. Welche Voraussetzungen an L müssen gelten, damit die zu L gehörige Greensche Funktion mittels Fouriertransformation berechnet werden kann.

Gegeben sei ein Sturm-Liouville Problem. Die Bedingung \(y(a) = y(b)=0\) nennt man Randbedingung. Die Bedingung \(y'(a)=y'(b)=0\) nennt man Randbedingung. Es gibt auch noch Randbedingungen der Form \(y(a)=y(b)\) bzw. \(y'(a)=y'(b)\)

Welche der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Sturm-Liouville Gestalt gebracht werden?

Gegeben sei die Differentialgleichung \(\frac d{dx}\left[p(x)\frac d{dx}\right]\phi(x)+[q(x)+\lambda\rho(x)]\phi(x)=0\) \(x\in(a,b)\). Es sei weiters \(p'(x)\) und \(q(x)\) stetig und \(p(x)\gt0, \rho(x)\gt0\forall x\in(a,b)\) Welche Aussagen treffen zu?

Wie erhält man aus einer Differentialgleichung die Sturm-Liouville'sche Normalform, sofern sie existiert.

Was darf nicht auftreten, damit ein Separationsansatz bei einer Differentialgleichung zum Erfolg führt?

Stimmt diese Gleichung? \(\Gamma(n)=(n+1)!\)

Was ist eine Verallgemeinerung der Fakultät?

Wie ist das Pochhammer-Symbol definiert? a) \((a)_n := (a+n)(a+n-1) \dots (a+2)(a+1)\) b) \((a)_n:= (a+n)(a+n-1) \cdots (a+1)a\) c) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+2)(a+1)\) d) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+1)a\)

Wie kann die Fakultät geschrieben werden? a) \(n!=\Gamma(n)\) b) \(n!=\Gamma(n+1)\) c) \(n!=\Gamma(n-1)\) d) \(n!=(1)_n \), (Pochhammer-Symbol) e) \(n!=(n)_n \), (Pochhammer-Symbol) f) \(n! = B(2,n)\), Beta-Funktion

Gegeben sei die Differentialgleichung \(y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_2(x)y(x)=0\) Wann ist die DGL eine Fuchsche Differentialgleichung?

Welche Normierung wählt man für die Legendre-Polynome?

Wie können die Legendre-Polynome erzeugt oder definiert werden?

Sei \(n\) gerade. Wie ist die Doppelfakultät \(n!!\) definiert?

Gegeben sei ein Sturm-Liouville Problem.
Die Bedingung \(y(a) = y(b)=0\) nennt man Randbedingung.
Die Bedingung \(y'(a)=y'(b)=0\) nennt man Randbedingung.
Es gibt auch noch Randbedingungen der Form \(y(a)=y(b)\) bzw. \(y'(a)=y'(b)\)

Gegeben sei die Differentialgleichung
\(\frac d{dx}\left[p(x)\frac d{dx}\right]\phi(x)+[q(x)+\lambda\rho(x)]\phi(x)=0\)
\(x\in(a,b)\). Es sei weiters \(p'(x)\) und \(q(x)\) stetig und \(p(x)\gt0, \rho(x)\gt0\forall x\in(a,b)\)
Welche Aussagen treffen zu?

Stimmt diese Gleichung?
\(\Gamma(n)=(n+1)!\)

Wie ist das Pochhammer-Symbol definiert?

a) \((a)_n := (a+n)(a+n-1) \dots (a+2)(a+1)\)
b) \((a)_n:= (a+n)(a+n-1) \cdots (a+1)a\)
c) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+2)(a+1)\)
d) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+1)a\)

Wie kann die Fakultät geschrieben werden?

a) \(n!=\Gamma(n)\)
b) \(n!=\Gamma(n+1)\)
c) \(n!=\Gamma(n-1)\)
d) \(n!=(1)_n \), (Pochhammer-Symbol)
e) \(n!=(n)_n \), (Pochhammer-Symbol)
f) \(n! = B(2,n)\), Beta-Funktion

Gegeben sei die Differentialgleichung
\(y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_2(x)y(x)=0\)
Wann ist die DGL eine Fuchsche Differentialgleichung?

Sei \(n\) gerade.
Wie ist die Doppelfakultät \(n!!\) definiert?