In der Quantenmechanik werden messbare Größen durch unitäre Operatoren dargestellt.
Die Eigenwerte unitärer Matrizen sind +1 oder -1
Hermitesche Operatoren haben keine rein imaginären Eigenwerte
Die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Der Impulsoperator wird in der Ortsbasis mit \( \hbar i \vec\nabla \) dargestellt.
Ein im Impulsraum gaußförmiges Wellenpaket ist auch im Ortsraum gaußförmig und zerfließt im Laufe der Zeit. Seine geringste Ausdehnung hat es zum Zeitpunkt \(t = 0\)
Ist der Hamiltonoperator zeitunabhängig, kann die Schrödingergleichung in einen Ortsteil und einen zeitabhängigen Teil separiert werden.
Was gilt für die Wellenfunktion an einer Potentialstufe?
Stetigkeit der 1. Ableitung
Stetigkeit der Wellenfunktion
Stetigkeit der 2. Ableitung
Die 2. Ableitung hat einen Sprung
Die Wellenfunktion macht zwangsläufig einen Phasensprung
Bei einem 1d-Potential, das symmetrisch ist, sind die Eigenzustände \(\psi(x)\) symmetrisch
Was trifft auf die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators zu?
Die Hermit-Polynome sind abwechselnd gerade und ungerade
Die Hermit-Polynome sind gerade
Die Hermit-Polynome sind ungerade
Die n-te Wellenfunktion hat n Nulldurchgänge
Die Hermit-Polynome sind orthogonal zueinander
Die Hermit-Polynome sind normiert bezüglich der L2-Norm
Harmonischer Oszillator: Der Erzeuger-Operator ist der adjungierte Operator des Vernichter-Operators.
Kohärente Zustände sind Eigenzustände zum Erzeugunsoperator
Was trifft auf kohärente Zustände zu?
Sind Lösungen des quantenmechanichen harmonischen Oszillators
Sind Eigenzustände zum Vernichtungsoperator
bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Wellenpaket zerfließt mit der Zeit
Erwartungswerte von Impuls und Ort verhalten sich wie beim klassischen harmonischen Oszillator
Ebene Wellen sind im Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen
Die Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operators A, die im zugrundeliegenden Hilbertraum liegen, bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.
Der Hamiltonoperator für den harmonischen Oszillator in einer Dimension lautet \( H = \frac{p^2}{2m} + \frac 1 2 m \omega^2x^2 \) wobei p und x nach dem Korrespondenz-Prinzip durch ihre Operatoren ersetzt werden.
Die stationäre Schrödingergleichung für den eindimensionalen harmonischen Oszillator ist in Ortsdarstellung einfacher zu lösen als in Impulsdarstellung.
Was trifft auf den Zeitentwicklungs-Operator zu?
Er ist unitär
Er ist hermitesch
Er erhält die Norm der Wellenfunktion
Was trifft auf die Messung einer Observablen zu?
Die Observable wird durch einen hermiteschen Operator repräsentiert.
Die Messergebnisse müssen größer als der kleinste und kleiner als der größte Eigenwert sein.
Als Messergebnisse kommen überhaupt nur Eigenwerte in Frage.
Die Wahrscheinlichkeit eines Messergebnisses ist gleich der Koeffizient in der Entwicklung nach den Eigenfunktionen
Was passiert, nachdem eine Messung am System durchgeführt wurde?
Das System geht in den entsprechenden Eigenzustand über.
Das System ändert sich durch die Messung nicht und verhält sich wie ohne Messung.
Ein Operator A ist ein skalarer Operator, wenn gilt: \([L_z,A]=0\) Also wenn er mit der z-Komponente des Drehimpulses kommutiert.
Ein Operator \(A_i\) ist ein Vektoroperator, wenn gilt: \([A_i,L_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk}A_k \)
Welcher Operator ist der Erzeuger der Zeit-Transformation (Zeitentwicklung)
Hamiltonoperator
Impulsoperator
Drehimpulsoperator
Ortsoperator
Zeitoperator
Welcher Operator ist der Erzeuger der Raum-Translationen?
Die beiden Operatoren A und B sind kanonisch zueinander, wenn gilt: \([A,B]=\frac C i\mathbb 1\), wobei \(C\) eine Konstante ist.
Für den Radialteil der Wellenfunktion \(R(r)\) führt man bei einem Radialsymmetrischen Potential \(V(|r|)\) die Transformation \(u(r)=r\cdot R(r)\) ein. Die Normierung für \(u(r)\) lautet dementsprechend mit Jacobi-Determinante: \(\int_0^\infty r^2|u(r)|^2 \,\mathrm dr = 1\)
