CNC Complementar (1-4)

Seguem os seguintes conceitos listados abaixo sobre erros nas aproximações numéricas:

(1) Erro absoluto: Quando se substitui um valor a por outro valor aproximado a’ (a’¹a), diz-se que o erro absoluto cometido é Δ = |a - a'|.
(2) Erro relativo: Chama-se erro relativo cometido sobre um valor a, quando este é aproximado por a’, ao quociente positivo, portanto δ = Δ / a.

(3) Arredondamento: Diz-se que um valor foi arredondado na posição de ordem n, se todos os algarismos significativos n+1 em diante forem abandonados de forma que o algarismo n é aumentado de uma unidade se, e somente se, o de ordem n + 1 for superior a 4.

(4) Algarismos significativos de um número a são todos os seus algarismos de 1 a 9 e zeros, desde que não sirvam simplesmente para fixar a posição do ponto decimal ou que não estejam substituindo algarismos de casas decimais de mais baixa ordem abandonadas.

Dos itens listados acima quais podem ser considerados corretos:

Quando realizamos uma medida precisamos estabelecer a confiança que o valor encontrado para a medida representa. Medir é um ato de comparar e esta comparação envolve erros dos instrumentos, do operador, do processo de medida entre outros. Em qualquer situação deve-se adotar um valor que melhor represente a grandeza e uma margem de erro dentro da qual deve estar compreendido o valor real. Vamos supor que você está efetuando a medição de um segmento de reta, utilizando para isso uma trena graduada em centímetros. Você observa que o segmento de reta tem um pouco mais de cento e vinte e sete centímetros e menos que cento e vinte e oito centímetros. Então, você estima o valor desse "pouco" que ultrapassa cento e vinte e sete centímetros, expressando o resultado da medição assim: 127,6 centímetros. Portanto podemos dizer que a aproximação da medida deste eixo tem:

Considere uma máquina hipotética que trabalhe em vírgula flutuante com 4 dígitos decimais de precisão (i.e., guarda apenas os 4 primeiros dígitos significativos de um número). Qual é o erro máximo relativo que pode ser cometido ao arredondar qualquer número para 4 dígitos significativos?

Seja f = (x²y)/z. Se x = 5,00 ± 0,05, y = 4,00 ± 0,02 e z = 3,00 ± 0,06. Calcule o valor de f e encontre o erro relativo de cada variável.

A representação aritmética de ponto flutuante é muito utilizada na computação digital, por exemplo em calculadoras científicas. A principal vantagem da representação em ponto flutuante é que ela pode representar uma grande faixa de números se comparada à representação de ponto fixo. Seja uma representação com 6 (seis) dígitos, quais serão o maior e o menor número para uma representação utilizando ponto flutuante?

A propagação de erros pode influenciar diretamente nos cálculos matemáticos alterando resultados. Estes erros podem ser provenientes de várias fontes, tais como: instrumentos de medidas, erros humanos na aquisição de dados, ferramentas de cálculos, etc.

Deseja-se realizar os cálculos das expressões (1) e (2) em uma máquina com 4 dígitos significativos. Sendo X1 = 0,3491.104 e X2 = 0,0023.100.

Expressão (1): ( X2 + X1 ) – X1
Expressão (2): X2 + ( X1 - X1 )

Das opções abaixo, qual delas constam os resultados corretos, com 4 dígitos significativos, das expressões acima e a justificativa para a diferença dos resultados das expressões.

Supondo um sistema de aritmética em ponto flutuante que trabalha com 4 dígitos na mantissa, na base 10, expoente e no intervalo Î [-5 5]. Consideremos agora a operação Z = X + Y, com X = 0,127.103 e y = 0,97.10−1. Determine Z em função dos resultados desta operação com os valores de arredondamento e truncamento.

Um modelo matemático raramente representará corretamente um fenômeno físico na integra, pois são necessárias várias simplificações do mundo físico para se obter um modelo matemático. São listadas abaixo algumas afirmações que tentam justificar os erros devido a simplificação dos modelos matemáticos.

1. Erros na modelagem de um problema físico, ex: resistência do ar, velocidade do vento, forma do objeto, etc.

2. Precisão de leitura de um instrumento de medida de distância.

3. O aquecimento da máquina (computador) durante o processamento de dados.

4. O valor numérico de p em um cálculo de uma determinada área de uma circunferência.

5. Esforço computacional.

Seja Y=0.005 e Z=0.006, qual das opções a seguir representam o erro absoluto (EA) e o erro relativo (ER)? Sabe-se que o valor do erro de aproximação é designado por erro absoluto.

O Teorema de Bolzano localiza os possíveis zeros de uma função. As raízes de uma função nem sempre podem ser encontradas analiticamente, ou seja, resolvendo a função f(x) = 0 de maneira exata. De acordo com o gráfico abaixo, quais das alternativas possuem os intervalos das raízes reais da função f(x), demonstrada graficamente?

Considerando as quatro funções a seguir:

f(x) = 2x-7 g(x) = 13x-39 h(x) = x+3 i(x) = 3x+17

Qual dos conjuntos abaixo contém os zeros de todas as funções acima:

Seja a equação x³-2x-1=0 que só tem uma raiz positiva. De acordo com o princípio da bisseção ela deve estar no intervalo:

Dada a função y = 1 - x.lnx temos a tabela:

x 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
y 1,346 1,000 0,392 -0,386 -1,291
O intervalo que contém a raíz é:

Usando o método da dicotomia, encontre os intervalos onde a função f(x) = ln x - x + 2 possui pelo menos uma raiz

A função f(x) = X⁸ - 120 tem uma das suas raizes entre 1,0 e 2,0. Usando o método da bissecção qual será o intervalo que contêm a raiz após 2 interações?

Pelo método da bissecção, a função f(x) = 3x⁵ - 25 tem uma raiz entre?

A função f(x) = 5x³ - 16x tem uma das raizes entre 1 e 2. Usando o método da bissecção qual será o intervalo que contêm a raiz, após uma interação?

A função f(x) = 4x⁴ - 5x² + 1 tem uma das raizes entre [0; 0,8]. Usando o método da bissecção, qual será o intervalo que contêm a raiz, após uma interação?

Seja f(x) = x³ - 2x² - 5, f'(x) = 3x² - 4x e P₀ = 2, utilize o método de Newton para determinar P₃. O valor será aproximadamente:

Seja f(x) = 3x² + 5x, f'(x) = 6x + 5 e P₀ = - 2, utilize o método de Newton para obter P₃. O valor aproximado obtido para P₃ será:

Encontre uma das raízes para a função f(x) = x1/2 - e⁻ˣ com tolerância de 0,001. A raiz se encontra entre 0,42 e 0,44.

Determine uma das raizes da função f(x) = lnx - x + 2 com tolerância de 1/1000. A raíz se encontra no intervalo entre 0,1 e 0,5

Seja f(x) = 5x⁵ - 2x³ - 9x, f'(x) = 25x⁴ - 6x² - 9 e P₀ = 1,5, aplique o método de Newton e obtenha P2.

Seja f(x) = 2x⁹ + 152, f'(x) = 18x⁸ e P₀ = -1,4, aplique o método de Newton e encontre P3

Seja f(x) = [(x⁵ - 1) / (3)], f'(x) = [(5x⁴) / (3)] e P₀ = 1 aplique o método de Newton e encontre P3

Seja f(x) = [(x² - 5) / (8)], f'(x) = [(x) / (4)] e P₀ = 6 aplique o método de Newton e encontre P2

f(x) = 2ˣ - 9 possui uma raiz no intervalo [3,0; 3,5] usando o método da dicotonia, encontre o valor da raiz com erro de duas casas decimais.