Biografía de Bernoulli
Nació en el seno de una familia de matemáticos el 08/02/1700 en Groninga, Holanda. Falleció el 17/03/1782 en Suiza. Fue un importante físico y matemático que se desenvolvió en diversos campos de la ciencia. Destaca por la enunciación del Principio de Bernoulli, implicado en la sustentación aérea de los aviones.

Daniel Bernoulli fue inculcado en las matemáticas y la física por su padre Johann, catedrático con reputación en Europa. Estudió la carrera universitaria de Medicina en Basilea y Heidelberg, licenciándose con una tesis sobre la respiración con enfoque mecanicista. La muerte de Daniel Bernoulli se produjo a causa de un paro respiratorio el 17 de marzo de 1782. En vida legó 86 trabajos sobre las Matemáticas Mixtas y fue galardonado con 10 Premios de la Academia de las Ciencias de París. Aparte de físico, también se le podía considerar filósofo.

Derivación del teorema de Bernoulli

Describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto en su obra Hidrodinámica (1737) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

Cuándo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Esto es, en un punto dado cualquiera, en un flujo de régimen estable la velocidad de cada partícula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede pasar una partícula con una velocidad diferente, pero toda partícula que pase por este segundo punto se comporta allí de la misma manera que se comportaba la primera partícula cuando pasó por este punto. Estas condiciones se pueden conseguir cuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de régimen variable, las velocidades son función del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades varían desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro.

Punto 3

TEOREMA DE BERNOULLI Y SUS APLICACIONES

TEOREMA DE DANIEL BERNOULLI

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido en reposo moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.

2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.

3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como “Ecuación de Bernoulli” (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

donde:

= velocidad del fluido en la sección considerada.
= densidad del fluido.
= presión a lo largo de la línea de corriente.
= aceleración gravitatoria
= altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona ‘no viscosa’ del fluido.
Caudal constante
Flujo incompresible, donde ρ es constante.
La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo rotacional

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.

Cada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head; el término se suele agrupar con (donde ) para dar lugar a la llamada altura piezo métrica o también carga piezométrica.[editar]Características y consecuencia

También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por , de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

Esquema del efecto Venturi.

o escrita de otra manera más sencilla:

donde

es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

Aplicaciones del Principio de Bernoulli

Chimenea
Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayo

Tubería

La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión. es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.

Natación
La aplicación dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor propulsión.

Carburador de automóvil
En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.

Flujo de fluido desde un tanque
La tasa de flujo está dada por la ecuación de Bernoulli.

Dispositivos de Venturi
En oxigeno terapia la mayor parte de sistemas de suministro de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual esta basado en el principio de Bernoulli.

Aviación
Los aviones tienen el extradós (parte superior del ala o plano) más curvado que el intradós (parte inferior del ala o plano). Esto causa que la masa superior de aire, al aumentar su velocidad, disminuya su presión, creando así una succión que ayuda a sustentar la aeronave.

Punto 4

MARCO TEÓRICO

Principio de Bernoulli. En 1738 Daniel Bernoulli publicó un tratado de hidrodinámica en el cual demostraba, entre otras cosas, que en los lugares donde la velocidad del fluido es grande, su presión es baja y donde la velocidad del fluido es pequeña, la presión es alta.

Arterioesclerosis. Arterioesclerosis es una afección en la cual la placa se deposita a lo largo de las paredes de las arterias. Placa es una sustancia pegajosa compuesta de grasa, colesterol calcio y otras sustancias que se encuentran en la sangre. Con el tiempo, esta placa se endurece y angosta las arterias. Eso limita el flujo de sangre rica en oxígeno y puede llevar a problemas graves. Generalmente, la arterioesclerosis no presenta síntomas hasta que una arteria se estrecha demasiado o totalmente. Mucha gente no sabe que sufre esta condición hasta que tiene una emergencia médica.

Infarto de corazón. El infarto de miocardio es el cuadro clínico producido por la muerte de una porción del músculo cardíaco que se produce cuando se obstruye completamente una arteria coronaria. Cuando se produce la obstrucción se suprime el aporte sanguíneo. Si el músculo cardíaco carece de oxígeno durante demasiado tiempo, el tejido de esa zona muere y no se regenera. Para que el corazón funcione correctamente la sangre debe circular a través de las arterias coronarias. Sin embargo, estas arterias pueden estrecharse dificultando la circulación. Si el corazón se expone a un sobre esfuerzo pueden aparecer trastornos y formarse un coágulo que a su vez puede tapar una arteria semi-obstruida. Esta obstrucción, interrumpe el suministro de sangre a las fibras del músculo cardiaco. Al dejar de recibir sangre estas fibras mueren de forma irreversible. El infarto de miocardio ocurre cuando un coágulo de sangre (trombosis coronaria) obstruye una arteria estrechada. Normalmente el infarto de miocardio no sucede de forma repentina. Puede llegar causado por la arterioesclerosis, un proceso prologado que estrecha los vasos coronarios.

Tubo Pitot

Tubo de pitot
El tubo de pitot se utiliza para establecer la velocidad del flujo a través de la medición de la presión de estancamiento (la presión en una rama paralela a la dirección del flujo y ocluida en su otro extremo que es igual a la suma de la presión estática y la presión dinámica. la presión estática es la presión de un fluido medida en un punto. la presión total se mide en el extremo ocluido. el valor de la presión dinámica que depende de la velocidad del flujo y su densidad se calcula por la diferencia entre las medidas, en este caso con el desplazamiento del diafragma
Es utilizado para la medición del caudal, está constituido por dos tubos que detectan la presión en dos puntos distintos de la tubería. Pueden montarse por separado o agrupados dentro de un alojamiento, formando un dispositivo único. Uno de los tubos mide la presión de impacto en un punto de la vena. el otro mide únicamente la presión estática, generalmente mediante un orificio practicado en la pared de la conducción. Un tubo de pitot mide dos presiones simultáneamente, la presión de impacto (pt) y presión estática (ps). La unidad para medir la presión de impacto es un tubo con el extremo doblado en ángulo recto hacia la dirección del flujo. El extremo del tubo que mide presión estática es cerrado pero tiene una pequeña ranura de un lado. Los tubos se pueden montar separados o en una sola unidad. En la figura siguiente se muestra un esquema del tubo pitot

La ecuación de Bernoulli nos muestra:

La presión diferencial medida a través del tubo pitot puede calcularse utilizando la ecuación de Bernoulli, y resulta ser proporcional al cuadrado de la velocidad del fluido

El tubo de Pitot se utiliza para medir presión total o de oclusión al tiempo que se mide la estática. Resolviendo la ecuación de Bernoulli obtenemos la velocidad del flujo.

Cambios en los perfiles de velocidad del flujo pueden causar errores significativos. Por esta razón los tubos pitot se utilizan se utilizan principalmente para medir presiones de gases, ya que en este caso, los cambios en la velocidad del flujo no representan un inconveniente serio. Partículas que pueda tener el flujo.

Las aplicaciones de los tubos de pitot están muy limitadas en la industria, dada la facilidad con que se obstruyen por la presencia de cuerpos extraños en el fluido a medir. En general, se utilizan en tuberías de gran diámetro, con fluidos limpios, principalmente gases y vapores. Su precisión depende de la distribución de las velocidades y generan presiones diferenciales muy bajas que resultan difíciles de medir.

Aplicaciones

Velocímetro

Dispositivo para medir la velocidad de un vehículo. La medición suele efectuarse determinando el número de revoluciones a lo largo de un intervalo de tiempo conocido, o mediante un instrumento que determina directamente el número de revoluciones por minuto o por segundo. Un ejemplo del segundo caso es el velocímetro de un automóvil, en el que un cable flexible unido al árbol de la transmisión hace girar un imán permanente. Esto induce un campo magnético que tiende a arrastrar un tambor que rodea al imán. El tambor está restringido por un resorte conectado a una aguja. Cuanto mayor es la velocidad del vehículo, más fuerza se ejerce sobre el tambor y más alta es la desviación de la aguja.

En los automóviles modernos el velocímetro ya no está conectado mecánicamente a la transmisión. Un dispositivo situado en la transmisión produce una serie de pulsos eléctricos cuya frecuencia varía de acuerdo con la velocidad del vehículo; estos pulsos eléctricos se transmiten a un dispositivo calibrado que determina la velocidad y envía dicho dato al salpicadero, donde puede leerse a partir de la desviación de una aguja o directamente en una pantalla digital.

Los velocímetros de los aviones, que indican la velocidad aerodinámica, es decir, con respecto al aire, se basan en la medida de la presión cinética. el llamado tubo de pitot, inventado por el físico e ingeniero francés henri pitot, es un tubo lleno de mercurio y provisto de dos aberturas, una orientada en la dirección del flujo de aire y la otra perpendicular a éste. Cuando el avión está detenido, la presión en ambas aberturas es la misma. Cuando el avión se mueve, el aumento de la presión en la rama cuya abertura está orientada en la dirección del flujo de aire empuja el mercurio hacia la otra rama; la altura del mercurio en dicha rama indica la velocidad aerodinámica. la velocidad de un vehículo acuático se mide a menudo mediante un instrumento remolcado que consiste en una pequeña hélice, cuya velocidad de giro depende de la velocidad lineal del buque. la hélice está conectada con un instrumento calibrado situado en el barco.

el término tacómetro suele aplicarse a los instrumentos empleados para medir la velocidad angular de un mecanismo en revoluciones por minuto. muchos automóviles tienen tacómetros que miden el número de revoluciones del cigüeñal del motor.

Anemómetro

Del griego, anemos, viento; metron, medida, instrumento que mide la velocidad del viento. El tipo más común de anemómetro consiste en tres o cuatro semiesferas unidas a unas varillas cortas conectadas a su vez a un eje vertical en ángulos rectos. El viento, al soplar, empuja las semiesferas y estas hacen girar el eje. El número de vueltas por minuto se traduce en la velocidad del viento con un sistema de engranajes similar al del indicador de velocidad de los vehículos de motor. la velocidad del viento se mide también por la presión del aire sobre un tubo de pitot (un tubo con forma de l, con un extremo abierto hacia la corriente de aire y el otro conectado a un dispositivo medidor de presión) o eléctricamente por el efecto refrigerador del viento sobre un alambre donde se produce una variación de la resistencia eléctrica.

TUBO DE VENTURI

El tubo de Venturi se utiliza para medir la velocidad de un fluido incompresible. Consiste en un tubo con un estrechamiento, de modo que las secciones antes y después del estrechamiento son A1 y A2, con A1 > A2. En cada parte del tubo hay un manómetro, de modo que se pueden medir las presiones respectivas p1 y p2. Encuentra una expresión para la velocidad del fluido en cada parte del tubo en función del área de las secciones, las presiones y su densidad.

2 Solución

La ley de conservación de la masa establece que en un flujo estacionario toda la masa que entra por un lado de un recinto debe salir por otro, lo que implica que la velocidad debe ser mayor en la parte más estrecha del tubo

Por otro lado, la ley de Bernouilli establece que para dos puntos situados en la misma línea de corriente se cumple

Si los dos puntos se encuentran a la misma altura la presión hidrostática es la misma para ambos, por lo que

Reordenando términos

Sustituimos la ecuación de conservación de la masa

Análogamente

y el flujo volumétrico es

Si la diferencia de presiones se mide a partir de la diferencia de altura en dos manómetros, esto queda

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