¿Por qué para una barra en el plano con nudos rigidos en la matriz de rigidez todos los términos de la diagonal son positivos?
Porque se definen positivos con anterioridad.
Porque la matriz es siempre positiva, ya que está compuesta por parámetros como "Área", "Momento de inercia", "Módulo de young"... siempre positivos.
Porque la fuerza que hay que aplicar en cada término está definida en el mismo sentido en el que se provoca finalmente el desplazamiento.
Porque los desplazamientos se definen en el mismo sentido que el sentido de aplicación de la fuerza.
Si una estructura es isostática, debe ser combinación de:
mecánica externa y hiperestática interna.
isostática interna e isostática externa
Mecánica interna e hiperestática externa
Isostático interno e hiperestático externo
Si una estructura de nudos es hiperestática debe ser combinación de:
hiperestática externa y mecanica interna
hiperestática interna y mecánica externa
isostática externa e hiperestática interna
Una estructura que es isostática externa y que está compuesta por 5 barras, con dos nudos a los cuales convergen dos barras y dos nudos a los cuales convergen 3 barras a cada uno. Cuántos grados de libertad posee finalmente?
posee 3 grados de libertad más otros 3 de sólido rígido
tiene finalmente 3 grados de libertad, lo que la convierte en una estructura hiperestática.
los grados de libertad de un sólido rígido.
La teoría de estructuras se diferencia de la teoría de la elasticidad en:
La teoría de la elasticidad estudia sólidos elásticos mientras que la teoría de estructuras no estudia sólidos elásticos
La teoría de la elasticidad estudia principalmente los desplazamientos como sólidos rígidos de sólidos con una geometría cualquiera mientras que la teoría de estructuras estudia principalmente los desplazamientos como sólido rígido de sólidos formados por barras.
La teoría de estructuras se basa en una serie de simplificaciones y aproximaciones que permiten reducir la complejidad con respecto al problema estudiado mediante la teoría de la elasticidad.
La forma de la matriz de rigidez para el cálculo de estructuras de barras se basa en que:
La rigidez es aditiva y por lo tanto se conocen las contribuciones de cada uno de los elementos que están conectados a un determinado grado de libertad.
La rigidez es aditiva y por lo tanto se conocen las contribuciones de cada uno de los elementos que están conectados a un determinado grado de libertad siempre que en este se conozcan los desplazamientos y no las fuerzas.
La rigidez es aditiva y por lo tanto se conocen las contribuciones de cada uno de los elementos que están conectados a un determinado grado de libertad. Algunas veces se conocerán las fuerzas y otras los desplazamientos
El método de los elementos finitos para el cálculo de barras se basa en:
una discretización matemática de las deformaciones y geométrica de las estructuras.
Una discretización geométrica de las barras y una discretización matemática de los desplazamientos.
Una aproximación mediante la función de aproximación spline la cual te convierte un problema con infinitos grados de libertad en un problema con un numero finitios de grados de libertad
El método de los elementos finitos:
Se basa en la resolución de problemas de la teoría de la elasticidad realizando una serie de simplificaciones.
Discretiza una estructura para disminuir el volumen de desarrollos matemáticos y la toma de decisiones.
es una aproximación del método directo de la rigidez, pero más efectivo ya que es capaz de resolver problemas de mayor importancia más ágilmente
es la forma general de explicar el método directo de la rigidez.
Utiliza funciones de pequeño soporta para relacionar cargas con esfuerzos.
El método directo de la rigidez y la condición de compatibilidad interna entre barras está implícitamente impuesto porque:
la propia forma de la matriz de rigidez de cada barra lleva incluida la condición de compatibilidad independientemente de como se formule
el método directo de la rigidez se deriva de la teoría de la elasticidad con lo que las condiciones de compatibilidad entre barras ya viene impuesta
En los nudos entre barra y barra, los grados de libertad están definidos de forma individual para todas las barras que están conectadas a ese nudo
Tanto en la teoría de la Elasticidad como en la teoría de Estructuras, para que un determinado campo de tensiones, deformaciones y desplazamientos sea solución de un problema, es necesario que se cumplan:
las condiciones de contorno y las relaciones de compatibilidad, equilibrio, comportamiento y deformación.
las condiciones de contorno y las relaciones de compatibilidad, equilibrio y comportamiento.
el campo de tensiones, deformaciones y desplazamientos sean solución del problema virtual asociado y que cumplan las condiciones de contorno del problema real.
en el teorema de los trabajos virtuales, cuando el problema de las fuerzas y el problema de los desplazamientos son el mismo, representa:
la igualdad del trabajo realizado por las fuerzas de contorno con la energía de almacenamiento cinética.
la igualdad de la energía elastica almacenada con el trabajo producido por las fuerzas de contorno y volumen
La igualdad del trabajo virtual y el trabajo realizado por las fuerzas de contorno y de volumen
La igualdad de la energía disipada en el problema real y almacenada en el problema virtual
La función de pequeño soporte es:
Dicha función que aproxima interpolando entre dos puntos valiendo el valor unidad en el punto estudiado y cero en los demás valores.
una función que expresa los desplazamientos de cualquier punto como los desplazamientos de los nodos colindantes
es una función que expresa los desplazamientos de cualquier punto del interior del elemento como los desplazamientos de los nodos colindantes
La formulación del método de los elementos finitos para estructuras de barras se puede obtener a partir de...
utilizar el teorema de los trabajos virtuales para obtener la igualdad dada por el balance energético del trabajo realizado por las fuerzas de contorno reales y de volumen reales y la energía de deformación virtual
expresar el teorema de los trabajos virtuales en forma matricial, introduciendo la ley de compatibilidad y aproximar los desplazamientos como una función de estos en los nodos.
expresar el teorema de los trabajos virtuales en forma matricial, introduciendo la ley de comportamiento, aproximando los desplazamientos dentro del elemento como una función de estos en los nodos.
Teniendo una estructura de la forma U, empotrada en los extremos libres, el ángulo que hay que girar la barra vertical primera para que las fuerzas queden numeradas como 1,2,3 a la izquierda y 4,5,6 a la derecha es:
+90º
-90º
0º
Según el teorema de los trabajos virtuales y el teorema de los desplazamientos virtuales
Si el campo de tensiones está en equilibrio y el campo de desplazamientos es compatible, se cumple el teorema de los trabajos virtuales.
Si un campo de tensiones cumple el teorema de los trabajos virtuales, se cumple que está en equilibrio.
Si el campo de tensiones está en equilibrio y cumple el teorema de los trabajos virtuales, existe un campo de desplazamientos compatible
Si un campo de tensiones verifica la expresión del Teorema de los Trabajos Virtuales para todo los campos de deformaciones virtuales compatibles, ese campo de tensiones está en equilibrio.
Las funciones de forma de en elementos cuadrados cuyos nodos se situan unicamente en los vertices de dicha figura cumplen:
Que son lineales.
Que dependen del material.
Que pueden ser de cualquier orden, siempre y cuando cumplan con las condiciones que dichas funciones deben satisfacer.
Que son cuadraticas.
Visto el elemento en clase, triangular, con nodos en los vertices:
Las funciones de forma se definen lineales y es posible de definir unas funciones de forma cuadrática.
La matriz de rigidez de cada elemento únicamente varía por la posición de dichos nodos.
La matriz de rigidez es la misma en todos los elementos.
En algún momento del desarrollo del método de los elementos finitos para la elasticidad plana se llega a una expresión integro-diferencial que resuelve de manera exacta cualquier problema. ¿Cómo se puede transformar este problema en uno más sencillo?
Dividiendo el problema global en un conjunto de problemas individuales donde la simple suma integrando cada problema resuelva el problema global.
Creando una malla donde en cualquier punto de la malla se definan valores de deformaciones vertical y horizontal.
Creando un conjunto de elementos con un numero determinado de nodos en sus bordes y definiendo en ellos unos desplazamientos verticales y horizontales.
Queda igual de bien definido un problema de elementos finitos que uno general y las soluciones de ambos son exactas.
Las hipotesis que se realizan para el estudio de las estructuras planas son:
Lineas neutras en el centro de la barra.
ejes longitudinales de las barras en el mismo plano
Cargas aplicadas en el mismo plano donde se encuentran los ejes de las barras, pudiendo estar aplicadas en cualquier punto de la barra.
Cargas coplanarias y aplicadas unicamente en los nudos.
Los ejes de las barras, al converger en un punto (nudo), deben coincidir en el mismo punto.
Las hipotesis que se realizan en el analisis de las estructuras planas son muy utiles ya que:
en estas condiciones, la estructura no plastifica nunca.
en estas condiciones, la estructura está solo cargada axialmente.
avisa de que si una sección de una barra plastifica, plastifica todas las secciones de todas las barras que contiene la estructura.
En los metodos matriciales, a la hora de construir la matriz de rigidez:
hay que convertir los ejes locales de la barra porque se define la matriz de rigidez en ejes globales.
se sabe que se verifica para cualquier estructura porque se parte de las ecuaciones de compatibilidad
se sabe que se verifica para cualquier estructura ya que se parte del equilibrio infinitesimal de una barra
A la hora de formular el metodo de los elementos finitos:
se parte del equilibrio interno de un sólido plano.
como se basa en problemas derivados de la Teoría de la elasticidad, se puede asegurar que existe siempre solución para cada problema
Se parte del equilibrio global de un sólido plano.
El metodo de los elementos finitos se basa en el equilibrio interno de un sólido elástico.
En el metodo de los elementos finitos:
si un campo de tensiones cumple la ecuación de equilibrio, se puede asegurar que sea solución del problema.
Si un campo de tensiones cumple la expresión del Teorema de los Trabajos Virtuales, es directamente solución del problema.
Si un campo de tensiones cumple la expresión del Teorema de los Trabajos Virtuales, cumple directamente el equilibrio global del sólido.
El Teorema de Clapeyron (Teorema de los Trabajos Virtuales cuando desplazamientos y deformaciones virtuales coinciden con los reales) enuncia que la expresión de los TTV es:
Un balance energético.
una ecuación de iguala el trabajo que realizan las fuerzas de contorno y de volumen con la energía de deformación almacenada
Dado un campo de tensiones y un campo de deformaciones:
Si el campo de tensiones cumple la ecuación del TTV, al cumplir equilibrio, es solución del problema.
Si el campo de tensiones cumple TTV y el campo de deformaciones virtuales es compatible, estos dos pares de campos es solución de nuestro problema.
Si el campo de tensiones cumple el TTV para todos los campos de deformaciones virtuales compatibles, este campo de tensiones está en equilibrio.
Los modos de pandeo son:
estables
simetricos
simetricos o antisimetricos
Uno de los motivos por el cual puede existir prepandeo es el Area de la sección de la barra.
Uno de los motivos por el que puede generarse prepandeo es la poca uniformidad del material
Para crear la matriz de rigidez global de una estructura en grandes desplazamientos:
se parte de las ecuaciones de la compatibilidad, de las que se obtienen las ecuaciones de equilibrio.
Se usan las ecuaciones de equilibrio y se introducen en las ecuaciones de compatibilidad, para así poder asegurar la validez de la matriz de rigidez.
se parte de un elemento infinitesimal y se utilizan las ecuaciones de equilibrio, integrandolas en el dominio.
La matriz de rigidez global de una barra en grandes desplazamientos:
se obtiene a partir de relacionar las ecuaciones de equilibrio con las ecuaciones de compatibilidad
depende solo del módulo elástico, momentos de inercia, longitud de la barra y área de la misma.
Depende de, entre otros parametros, el axil de la barra.
Coincide con la matriz de rigidez global de una barra en pequeños desplazamientos cuando se trata de tracción.
