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| Question | Answer |
| Espacios vectoriales | Un espacio vectorial es un conjunto no vacío de \( V \) objetos, donde se han definidos dos operaciones, la suma y multiplicación por un escalar sujeto a 10 axiomas que deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en \( V \) y todos los escalares \(\alpha \space y \space \beta\) |
| Los 10 Axiomas de un EV | \( \\1. \space \mathbf {u +v} \space (cerradura \ bajo \ suma) \\ 2. \space \mathbf {u+v=v+u} \space ( Conmutatividad) \\ 3. \space \mathbf {(u+v)+w=u+(v+w)}\space (Asociatividad) \\ 4. \space \mathbf {Existe \ un \ vector \ nulo \ 0_v\ tal\ que \ u +0 = u} \\ 5. \space \mathbf { Para \ cada \ v \ en \ V \ existe \ un \ opuesto} \mathbf \ {-v} \ tal \ que \mathbf {v+(-v)= 0} \\ 6. \space \mathbf {\alpha \ v \ está \ en \ V} \ (\ cerradura \ bajo \ multiplicación) \\ 7. \space \mathbf {\alpha (u+v)=\alpha \ u + \alpha \ v \ (Distributividad)} \\ 8. \space \mathbf {(\alpha + \beta)v= \alpha \ v + \beta \ v \ (Distributividad)} \\9. \space \mathbf {\alpha (\beta v)=(\alpha \beta)v} \\10. \space \mathbf {1v = v} \) |
| Propiedades de los EV | \(\\ 1. \space \mathbf {0u = 0_v} \\ 2. \space \mathbf {\alpha \ 0_v = 0_v} \\ 3. \space \mathbf {(- \alpha) \ u=-(\alpha \ u} \\4. \space \mathbf {\alpha \ u=0_v \longrightarrow \alpha = 0 \space \space u=0_v} \) |
| Definición de Subespacio | Sea \( \ V\) un EV y \( \ W\) un subconjunto no vacío de \( \ V\). W es un subespacio de \( \ V\) si \( \ W\) es en sí mismo un EV con las mismas operaciones definidas en \( \ V\) |
| Condiciones Suficientes y Necesarias de un sev | \( \ w \subseteq \ V es \ un \ sev \leftrightarrow \ : \\ 1. \space \mathbf {0_v} \subset w \\2. \space \mathbf {u , v} \ están \ en \ w \rightarrow \mathbf {u+v} \ está \ en \ w \\3. \space \ si \mathbf {u} \ está \ en \ w \ y \ k \ es \ un \ escalar \rightarrow \mathbf {ku} \ está \ en \ w \) |
| Demuestre que: La intersección de cualquier número de sev de un EV \( \mathbf {V}\) es un sev de \( \mathbf {V}\) | \( Sea \ \mathbf {U} \ y \mathbf {W} \ sev \ de \ un \ EV \space \mathbf {V} \\ \bullet 0 \in \mathbf {U} \ y \ 0 \in \mathbf {W} \ ya \ que \mathbf {U} \ , \mathbf {W} \ son \ sev \\ \bullet \mathbf {u+v \ , \space \ ku \in U} \\ \bullet \mathbf {u+v \ , \space \ ku \in W} \ para \ cualquier \ k \) |
| Demuestre que: El conjunto solución \(\mathbf {W}\) de un sistema homogéneo con \(\mathbf {n}\) incógnitas \(\mathbf {AX=0}\) es un sev de \( k^{n}\) | \( \bullet Toda \ solución \ de \ un \ Sist \ Ec \ Lin. \ con \ n \ incógnitas \\ \mathbf {AX=0} \ puede \ verse \ como \ un \ punto \ de \mathbf {k^{n}} \\ \bullet Si \ es \ un \ Sist \ Homo \rightarrow \mathbf {AX=0} \ y \ W \ su \ conjunto \ solución \) |
| Combinación Lineal | Sea \( v_1, v_2,...,v_n \in V \) Se dice que el vector \(\ w \) es una CL si se puede expresar como: \(\ W=k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n\) |
| Conjunto generador | Sea \( \ {v_1, v_2,...,v_n} \in V \) -ev Si todo vector \(\ V \) puede expresarse como CL de \( \\ v_1, v_2,...,v_n \rightarrow\) \(\ {v_1, v_2,...,v_n} \) es un Conj. Generador. |
| Subespacio Generado | Dados los vectores \( v_1, v_2,...,v_n \in V \) Se llama \(\mathbf {Subespacio \ Generado}\) por \( v_1, v_2,...,v_n \) al conjunto de todas las CL de éstos vectores. Se denota \( \mathbf gen\) { \( v_1,v_2,...,v_n \) } |
| Independencia Lineal | Si \( \ A= v_1, v_2,...,v_n \in V \) La ecuación vectorial \(\mathbf {( \alpha_1 v_1,\alpha_2 v_2,...,\alpha_n v_n = 0_v }\) tiene la solución trivial \( \alpha_1=\alpha_2 =...=\alpha_n=0\) Se dice que \( \ A\) es un \(\mathbf {conjunto \ linealmente \ independiente}\) Si hay otras soluciones entonces Se dice que \( \ A\) es un \(\mathbf {conjunto \ linealmente \ dependiente}\) |
| Base | Un conj de vectores \( \ A= v_1, v_2,...,v_n \in V \) Se denomina \( \mathbf{ Base } \) si y sólo si: \( \bullet \) \( A\) es LI \( \bullet \) \( A\) genera a \( V\) |
| Propiedades de un ev de dimensión finita \( n \) | Sea \( \ V \) un ev de dim finita \( n \): \( \bullet \) \( n + 1\) o más vectores son LD \( \bullet \) Todo conjunto LI \( S = v_1,v_2,...,v_n\) con \( \ n\) es una \(\mathbf {Base} \) \ de \( \ V \) SI \( S \) genera un \( V \) -ev \( \bullet \) Cualquier número máximo de vectores \(\mathbf { LI }\) en \( S \) es una \(\mathbf {Base} \) de \( V \) \( \bullet \) Si se suprimen de \( S \) todo vector que sea \(\mathbf { CLI}\) de los precedentes, los vectores restantes constituyen una \(\mathbf {Base} \)de \( V \) |
| Dimensión | La \( Dim \) de un \( V \) -ev es la cantidad de vectores que componen una \(\mathbf {Base}\) de \( V \) \( \bullet \) SI \( B \) = { \( \ v_1,v_2,...,v_n\) } es una \(\mathbf {Base}\) de \( V \), la \(\mathbf {dim = n}\) |
| Propiedades de \( \ dim \) | Si \(\mathbf {\ dim( \ V ) = n}\): \( \bullet \) Todo conjunto de \( n \) vectores LI en \( \ V \) es una \(\mathbf {\ Base}\) \( \bullet \) Todo conjunto de \( n \) vectores que genere \( \ V \) es una \(\mathbf {\ Base}\) \( \bullet \) Todo conjunto de más \( n \) vectores en el \( \ V \) -ev es LD. \( \bullet \) Todo conjunto LI en \( \ V \) puede extenderse a una \( \mathbf {Base}\) |
| Coordenadas | Sea \(\ B \) = { \( v_1, v_2, ..., v_n \)} una base de \( \ V \) Para cada \( u \in \ V \) existen únicos escalares \( \alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n \in \ R \) tales que: \( u = \alpha_1v_1, \alpha_2v_2,..., \alpha_nv_n \) Estos escalares se denominan \( \mathbf {Coordenadas \ del \ vector \ u \ respecto \ de \ la \ base \ B } \) \[ \left [ u \right ]_B \left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ ... \\ \alpha_n \end{array} \right) \] |
| Rango | Se denomina \(\mathbf {Rango \ (Rg)}\) de una matriz al número de filas LI |
| Intersección de subespacios | \(\mathbf {S \cap T}\) = {\( v \in V: v \in S \wedge v \in T\)} |
| Demostrar que \(\mathbf {S \bigcap T}\) es un SEV | \( \bullet \) sea \(u,v \in S \cap T \) \(\Rightarrow u \in S \ ^\wedge \ u \in T \ \wedge \ v \in S \ ^\wedge \ v \in T \) \(\ u \in S \ ^\wedge \ v \in S \ \Rightarrow u+v \in S \ [1]\) \(\ u \in T \ ^\wedge \ v \in T \ \Rightarrow u+v \in T\ [2]\) De [1] y [2] se deduce que \( u+v \in S \cap T\) |
| Demostrar que \( u \in \mathbb{S} \ \cap \mathbb{T} \) | \( \bullet \) sea \(u \in \mathbb {S} \ ^\wedge \ u \in \mathbb {T} \ , \ \alpha \in \mathbb{R} \) \( \Rightarrow \alpha u \in \mathbb{S}\ \ ^\wedge \ \alpha u \in \mathbb{T} \Longrightarrow u \in \mathbb{S} \cap \mathbb{T}\) |
| Suma de sev | Dados \(\mathbb{S ,T}\) sev de \(\mathbb{V}\) se define la suma como: \( \mathbb{S + T}\)= { \(v \in \mathbb{V} \) : \( v = v_1 + v_2\), con \( v_1 \in \mathbb{S} \ , v_2 \in \mathbb{T} \) |
| Conjunto generador de la suma de sev | Si se conocen los generadores de \(S\) y \(T\) se pueden hallar los generadores de la suma: \(S\) = \(\mathbf{gen}\){\(v_1,v_2,...,v_q\)} \(T\) = \(\mathbf{gen}\){\(w_1,w_2,...,w_r\)} \(S+T\) = \(\mathbf{gen}\){ \(v_1,v_2,...,v_q,w_1,w_2,...,w_r\)} Dadas las bases \(B_S\) = \(v_1,v_2,...,v_q\) y \(B_T\) = \(w_1,w_2,...,w_r\) Resulta: {\(v_1,...,v_q,w_1,..,w_r\)} \(\mathbf{Conjunto \ generador}\) de la suma |
| Suma Directa de sev | La suma de dos sev es directa si y sólo si la intersección de los sev es el vector nulo: \(S \oplus T \Leftrightarrow S \cap T\) = { \(0_v\)} |
| Teorema de la dimensión de la suma | Sean \( S_1\) y \(S_2\) sev de un ev \( \mathbb {V} \) de dimensión finita, entonces: \(\mathbf{dim}(S_1 + S_2) = \mathbf{dim}(S_1) + \mathbf{dim}(S_2) + \mathbf {dim(S_1 \cap S_2)} \) En el caso que la suma sea directa, como \(S_1 \cap S_2\) = {\(0_v\)} resulta: \(\mathbf{dim}(S_1 \oplus S_2)\) = \(\mathbf{dim}(S_1) + \mathbf{dim}(S_2)\) |
| Producto interno | Un \(\ PI\) en un ev real \(\mathbb{V} \) es una operación que asigna a cada par de vectores \(\ u \ y \ v \) de\(\mathbb{ V} \) un número real \(\ u \cdot \ v \) tak que se verifica (para todo vector \( u,v,w\) de \(\mathbb{V} \) y todo escalar \(\alpha \): 1 - \(u \cdot v = v \cdot u\) 2 - \(u \cdot ( v+w ) = ( u \cdot v ) + ( u \cdot w ) \) 3 - \(\alpha u \cdot v = \alpha ( u \cdot w )\) 4 - \(u \cdot u \geq 0\) y \( \ u \cdot u = 0 \Leftrightarrow u = 0_v \) |
| Condición de Ortogonalidad | \(u \perp v \Leftrightarrow u \cdot v = 0 \) |
| Complemento Ortogonal de un sev | Sea \(S\) sev de \(\mathbb{V}\) (ev con PI) El \(complemento \ ortogonal \) de \(S\), \(S^{\perp}\) es el conjunto de vectores de \(\mathbb{V}\) que son ortogonales a cada uno de los vectores de \(S\): \(S^{\perp}\) = {\( v \in \mathbb{V} \ : v \cdot w = 0 \space \forall \ w \in S\)} |
| Propiedades del complemento ortogonal | Sea \( \mathbb{V}\) un ev de dim finita, con PI, y sea \( S \) un sev de \( \mathbb{V}\) se verifican las siguientes propiedades: 1 - \( (S^{\perp})^{\perp} = S \) 2 - \(\mathbb{V}^{\perp} = \) y {\( 0_v\)} \(^{\perp}\) = \(\mathbb {V}\) 3 - \( S \cap S^{\perp} =\) {\( 0_v\)} 4 - \( S + S^{\perp} =\mathbb{V}\) |
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