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Description
Flashcards by kary De Los Reyes, updated more than 1 year ago
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Created by kary De Los Reyes
over 4 years ago
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| Question | Answer |
| Quién era Kurt Gödel, el hombre que caminaba con Albert Einstein (y al que comparan con Aristóteles) El que llevaba su camisa arrugada, pantalones holgados sostenidos con suspensores y sus rebeldes rizos blancos, llevaba tiempo ya sorprendiendo a los residentes de Princeton, Estados Unidos, con sus largas caminatas -algo poco común en esa época por esos lares- durante las que a menudo se le veía disfrutando de un helado. Se trataba nada menos que de Albert Einstein, quien ya para esa década de 1930 era el científico más famoso del mundo | Pero ahora lo acompañaba un hombre más joven, con una vestimenta más tradicional, gruesas gafas y una expresión austera. Aunque no tan famoso, era muy conocido, particularmente en los círculos académicos por haber "sacudido los fundamentos de nuestra entendimiento (…) de la mente humana", según declaró la Universidad de Princeton al otorgarle un doctorado honorario, El acompañante de Einstein era el matemático austríaco Kurt Gödel, a menudo descrito como el más grande filósofo lógico desde Aristóteles. |
| Lo que Gödel hizo era usar matemáticas para probar que las matemáticas no podían probar todo en matemáticas. | Mostró que en cualquier sistema hay afirmaciones que son verdaderas pero que no se puede probar que lo son. O, como lo expresó el escritor Thomas Pynchon en su novela "El arcoíris de la gravedad", "cuando todo ha sido arreglado, cuando nada puede fallar o sorprendernos siquiera… algo lo hará". |
| Gödel estudió en la Universidad de Viena obteniendo su doctorado en 1929 con una tesis sobre la ―Suficiencia del Cálculo Lógico de Primer Orden‖, su primer logro de importancia excepcional (y de gran densidad intelectual, sólo 11 páginas). En 1930 entró a formar parte del claustro de profesores de la Universidad de Viena | En 1931, con sólo 25 años, publicó su logro principal que hoy es conocido como el TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL, posiblemente el descubrimiento matemático más importante del Siglo XX (igualmente denso, sólo 25 páginas.Ya establecido en EE.UU., produjo otro trabajo de enorme importancia que venía meditando desde 1938, titulado ―Consistencia del Axioma de Elección y la HIPÓTESIS DEL CONTINUO generalizada con los axiomas de la Teoría de Conjuntos‖(1940). |
| No está claro cuánto influyó Einstein para que Gödel trabajara en Relatividad, pero ciertamente se ocupó creativamente de cosmología relativista , encontró soluciones sorprendentes a las ecuaciones del campo gravitatorio de la Relatividad General que determinan universos rotatorios y fascinantes en los que el tiempo pierde su sentido habitual. | El Teorema de Incompletitud de Gödel En 1931 Gödel, con 25 años, publicó en una revista científica alemana un artículo que fue leído y entendido solamente por unos pocos matemáticos. Llevaba el impresionante título ―Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Pricipia Mathematica y sistemas relacionados‖ (Principia Mathematica es el famoso libro escrito conjuntamente por Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred N. Whitehead (1861-1949). |
| Todo sistema axiomático contiene postulados o axiomas (proposiciones aceptadas como verdaderas sin necesidad de demostración) de las que se deducen, con ayuda de la lógica, otras proposiciones llamadas teoremas. El sueño de todo matemático es probar que su ciencia es consistente y completa. Consistente quiere decir que nunca se deducirán dos teoremas que estén en contradicción, que no se puede deducir la verdad y la falsedad de una misma proposición. Y que el sistema sea completo significa que toda proposición que haya sido o pueda ser pensada sea susceptible, con las armas de deducción del sistema, de ser probada o refutada su veracidad. | Un sueño del que nos despertó cruelmente en 1931 Kurt Gödel, al demostrar que si se toma un sistema de axiomas lo suficientemente amplio – que contenga los axiomas de la aritmética como mínimo – siempre existirán proposiciones cuya certeza o falsedad será imposible demostrar, es decir serán proposiciones indecidibles. Aunque la proposición se cumpla en todos los casos observados, no nos garantiza que no falle en un próximo caso. El Teorema de Gödel también implica, para desencanto de muchos, que las computadoras nunca podrán ser programadas para contestar toda pregunta matemática. |
| Cuando una proposición sea indecidible, podríamos incorporarla – la proposición o su negación – como un nuevo axioma (y ya no necesito demostración alguna) y asunto resuelto. ¡ Pero habrá otra proposición indecidible en el nuevo sistema axiomático¡ Esto de incorporar proposiciones indecidibles como nuevos axiomas ya se ha hecho en dos notables casos: (1) El famoso postulado de Euclides. ―.Por un punto exterior a una recta pasa una, y sólo una, paralela a ella‖. Su incorporación como axioma (lo que hizo Euclides) dio lugar a la Geometría Euclídea, la incorporación de sus negaciones dio lugar a las Geometrías No-Euclídeas (nombre creado por Gauss) (2) La Hipótesis del Continuo, otro postulado indecidible, aceptado como axioma por Georg Cantor da lugar a la Teoría de Conjuntos Cantoriana. Y su negación a la Teoría de Conjuntos No-Cantoriana. | EL 5º POSTULADO DE EUCLIDES Y GEOMETRÍAS NO-EUCLÍDEAS. La civilización griega clásica que dio origen a la Geometría Euclídea fue destruida por Alejandro Magno y reconstruida, según nuevas directrices en Egipto. Alejandro trasladó el centro de su imperio de Atenas a la ciudad que él inmodestamente llamó ALEJANDRIA. Este objetivo fue hábilmente ejecutado por sus sucesores, los Ptolomeos, que gobernaron Egipto desde el año 323 A.C. hasta que el último miembro de la familia, Cleopatra, fue seducida por los romanos. Bajo la influencia de las civilizaciones del Oriente Próximo, especialmente la egipcia y la persa, la cultura de la civilización greco-alejandrina se orientó más bien con mentalidad ingenieril y práctica. Los matemáticos respondieron a los nuevos intereses. |
| Siglo II A.C. y fue escrita en Alejandría, ciudad situada en el delta del Nilo. EUCLIDES , científico helénico, el primer axiomatizador de la matemática y , entre otros cargos, maestro de Ptolomeo, rey de Egipto, es el firmante del texto que, con el nombre de ELEMENTOS. Los 9 libros que dedica Euclides a la geometría se basan en una serie de proposiciones dogmáticas-llamadas axiomas o postulados-, y a partir de ellos se elabora toda una doctrina. El 5º Postulado de Euclides, en el Libro I de los Elementos, tiene un enunciado equivalente a lo siguiente: ‖Por un punto exterior a una recta pasa una, y sólo una, paralela a ella.Euclides, al no poder demostrarlo como teorema lo adoptó como axioma y la geometría resultante se llamaría Geometría Euclídea. | Pero Karl F. GAUSS (alemán, llamado ―el príncipe de las matemáticas‖, 1777-1855), Nicolai LOBACHEVSKI (ruso y Rector de la Universidad de Kazan, 1792-1856) y Janos BOLYAI (húngaro,1802-1860), en trabajos de investigación independientes.postularon que por un punto exterior a una recta puede trazarse al menos dos paralelas (resulta que, de ser posible trazar dos, puede trazarse infinitas), dando lugar a una Geometría No-Euclídea.. G.F. Bernhard RIEMANN (alemán, fue discípulo de Gauss, 1826-1866) postuló que por un punto exterior no pasa paralela alguna, dando lugar a otra Geometría No-Euclídea (también llamada ―de Riemann. Las tres geometrías llevan a propiedades y conclusiones muy distintas tales como la suma de los ángulos interiores de un triángulo: En la Geometría Euclídea la suma es siempre 180º. En la Geometría de Gauss-Lobachevski- Bolyai, la suma es menor que 180º y además es variable. En la Geometría de Riemann, la suma es mayor que 180º, igualmente poco es el exceso para triángulos pequeños. |
| No tardó en demostrarse (el italiano E.Beltrami en 1868 y el alemán F.Klein en 1871) que si alguna de las dos nuevas geometrías llega a presentar una contradicción, también se presentaría una contradicción en la Geometría Euclídea. Las Geometrías No-Euclídeas serían , por tanto, consistentes, pero esa consistencia es relativa pues reposa sobre la consistencia de la Geometría Euclídea, pero queda por probar realmente que la Geometría Euclídea es consistente..Tal vez el lector está pensando que las Geometrías No-Euclídeas son sólo especulaciones intelectuales sin posibilidad de aplicación práctica, pero le interesará saber que la Geometría de Riemann encontró, en 1915, una insospechada aplicación en la teoría de la Relatividad General de Einstein y una de sus consecuencias fue la bomba atómica de cuya estruendosa realidad nadie puede dudar. | LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO. Georg F. CANTOR (ruso-alemán, 1845-1918) es el creador de la célebre Teoría de Conjuntos. Descubrió que más allá del infinito de los Números Naturales (N)--a cuyo cardinal (cardinal de un conjunto es el Nº de sus elementos) llamó aleph-sub-cero (aleph es la 1ª letra del alfabeto hebreo)—existen no solamente infinitos superiores sino un número infinito de ellos (infinitos alephs).Cantor demostró que el conjunto de los números pares, el conjunto de los números impares y el de los números primos, no obstante ser subconjuntos de N (los naturales), son también conjuntos infinitos de jerarquía aleph-sub-cero (igual que N). También demostró que los enteros (Z) positivos y negativos, los números racionales (Q) o fracciones, a pesar de contener a N son de infinitud igual en jerarquía que N (es decir tienen cardinalidad aleph-sub-cero). Las demostraciones de Cantor se basan en establecer una correspondencia biunívoca (biyectiva) entre conjunto y conjunto, y si esto es posible son conjuntos coordinables, equivalentes o equipotentes y tienen el mismo aleph. |
| Demostró luego que el conjunto de los números reales (R) o sea la recta real completa, tiene un cardinal infinito superior a aleph-sub-cero (R es ―más infinito‖ que N); para su demostración Cantor se valió del ingenioso recurso de hacer corresponder a cada punto de la recta real un Nº natural y mostrar que los elementos de N (1,2,3,4,…..) no alcanzan para enumerar a los reales. Llamó ―c‖ (por ―el continuo‖, término con el que se designaba a la recta real) al cardinal de R, de modo que ―c‖ es mayor que aleph-sub-cero. También demostró que el cardinal de un segmento (a,b) es ―c‖ a pesar de que (a,b) es subconjunto de R. | En este punto es posible que se le ocurra al lector una pregunta: ¿existirá un conjunto infinito cuya cardinalidad sea intermedia entre aleph-sub-cero y ―c‖?, es decir ¿existirá en un segmento rectilíneo algún conjunto infinito de puntos que no sea equivalente al segmento entero y tampoco sea equivalente al conjunto N? Tal pregunta ya se le ocurrió a Cantor, que no logró hallar ningún conjunto con tales características. Cantor conjeturó que tal conjunto no existía, a esta conjetura se dio en llamarla HIPÓTESIS DEL CONTINUO dando lugar a una Teoría de Conjuntos Cantoriana (o estándar). |
| Kurt Gödel en 1938-1940 demostró que no existe peligro en tomar la H. del Continuo como un axioma de la Teoría de Conjuntos sin que aparezca contradicción alguna, no era una demostración de la H. del Continuo, sino tan sólo una demostración de que tal hipótesis no puede ser refutada. Pero en 1963 Paul J. COHEN (estadounidense, 1934-2007), a los 29 años, dio el definitivo carpetazo a la cuestión probando que si se suponía que la H. del Continuo fuese falsa, tampoco se llegaba a ninguna contradicción. | Por lo tanto, no puede probarse que sea válida ni que sea falsa. Uno puede hacer con ella lo que quiera, razonar con ella o sin ella, o incluso contra ella dando lugar a una Teoría de Conjuntos No-Cantoriana (no estándar). Nunca incurrirá en contradicción, aunque, eso sí, edificará matemáticas distintas. En 1964 Cohen fue galardonado con la Medalla Fields, premio máximo para los matemáticos que suple la no existencia de Premio Nobel para ellos. https://www.bbc.com/mundo/noticias-43568588 • Formato Documento Electrónico(ISO) CRESPO OSTRIA, Luís. KURT GÖDEL, GIGANTE DE LA LÓGICA. Fides Et Ratio [online]. 2008, vol.2, n.2 [citado 2020-05-30], pp. 20-28 . Disponible en: <http://www.scielo.org.bo/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2071-081X2008000100004&lng=es&nrm=iso>. ISSN 2071-081X. • Formato Documento Electrónico(ABNT) CRESPO OSTRIA, Luís. KURT GÖDEL, GIGANTE DE LA LÓGICA. Fides Et Ratio, La Paz , v. 2, n. 2, p. 20-28, sept. 2008 . Disponible en <http://www.scielo.org.bo/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2071-081X2008000100004&lng=es&nrm=iso>. accedido en 30 mayo 2020. |
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