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Description
Flashcards by Silvio Araujo de Sousa, updated more than 1 year ago
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Created by Silvio Araujo de Sousa
over 9 years ago
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| Question | Answer |
| Em matemática, não raramente, uma brincadeira simples, de criança, pode revelar questões bem profundas. Um dos problemas mais famosos da matemática surgiu em uma situação assim: o problema das quatro cores. | |
| O problema é fácil de explicar: quantas cores são necessárias para colorir um mapa no plano de forma que as regiões adjacentes – que fazem fronteira entre si – tenham cores diferentes? | O matemático sul-africano Francis Guthrie (1831-1899) estava ‘brincando’ de colorir o mapa da Inglaterra quando percebeu que quatro cores bastavam. Intrigado, tentou provar isso, sem sucesso. |
| Mencionou o problema a seu irmão, Frederick Guthrie (1833-1886), físico e químico, que o passou a um professor dele, o grande matemático britânico Augustus De Morgan (1806-1871). Daí em diante, o problema tomou vida própria, e muitos tentaram mostrar – sem sucesso – que quatro cores bastavam. | Só em 1976 o problema sucumbiu aos esforços dos matemáticos, depois do trabalho conjunto do norte-americano Kenneth Appel (1932-2013) e do alemão Wolfgang Haken. A demonstração trouxe duas surpresas: i) o uso pesado de computadores na verificação de passos importantes (algo inédito no mundo da matemática até então); ii) um total de mais de 1,2 mil páginas. |
| Mas há muitas situações em que menos de quatro cores bastam – e não precisamos daquelas mais de mil páginas para entender o porquê! Vejamos, por exemplo, ‘problema das duas cores’. | Considere um mapa – sim, para os matemáticos é um mapa! – formado pela interseção de vários círculos (figura a seguir). |
| Para mapas assim, duas cores bastam. Se você começar a colorir o mapa, usando azul e vermelho, por exemplo, verá que, feita a escolha da cor para uma região, o processo fica muito natural. Experimente. | |
| Mas a questão, agora, é: como provar que esse método funciona sempre? | Vamos usar um argumento engenhoso: considere um ponto qualquer dentro do mapa – ele estará no interior de um ou mais círculos, necessariamente. A regra que usaremos é: se o ponto estiver dentro de um número par de círculos, pintamos a região de azul; se o número de círculos for ímpar, usaremos vermelho. E por que isso funciona sempre? Por que duas regiões fronteiriças não acabam com a mesma cor? |
| Imagine que estamos em certa região englobada por um número par de círculos. Se atravessarmos uma de suas fronteiras, estaremos: i) saindo de um dos círculos; ii) entrando em um novo círculo. | Como nossa região inicial estava no interior de um número par de círculos, então, nos dois casos acima (i e ii), passaremos forçosamente para uma região englobada por um número ímpar de círculos. |
| Na prática, a maior parte dos mapas (atlas, livros escolares etc.) usa apenas três cores | Ou seja, qualquer travessia de fronteira em nosso mapa nos jogará em uma região pintada com outra cor. Portanto, não haverá regiões fronteiriças pintadas com a mesma cor. |
| Claro que nem todo mapa é formado só por círculos. Mas já é um passo entender como uma classe de mapas pode ser pintada. Na prática, a maior parte dos mapas (atlas, livros escolares etc.) usa apenas três cores. Porém, assim como as crianças, não estávamos preocupados com mapas reais. E, a partir de uma brincadeira simples, encontramos um problema importante e desafiador. Isso é muito divertido. | Desafio E se o mapa fosse formado por quadrados, em vez de círculos, o argumento do ‘problema das duas cores’ ainda valeria? |
| Desafio E se o mapa fosse formado por quadrados, em vez de círculos, o argumento do ‘problema das duas cores’ ainda valeria? |
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