7101672
Description
Flashcards by Sergei Fomin, updated more than 1 year ago
|
Created by Sergei Fomin
about 8 years ago
|
|
| Question | Answer |
| Что такое матрица? Какие основные операции введены для матриц? | Прямоугольная таблица чисел. Операции: сложение двух матриц одинаковых порядков, умножение матрицы на число, умножения двух матриц порядков NxM на MxK. |
| Операция сложения двух матриц и ее свойства | Пусть A и B - матрицы одинаковых порядков m и n. Тогда сумма этих матриц - матрица, каждый элемент которой является суммой соответствующих эементов A и B. Свойства: 1) А + В = В + А 2) (А + В) + С = А + (В + С) |
| Операция умножения матрицы на число и ее свойства | Результатом умножения матрицы на число является матрица тех же порядков, где каждый элемент умножен на данное число. Свойства: 1) a*(b*A) = (a*b)*A 2) (a+b)*A = a*A + b*A 3) a*(A+B) = a*A + a*B |
| Операция умножения двух матриц и ее свойства | Умножение двух матриц порядков NxM и MxK определяется так: на позиции i,j стоит скалярное произведение i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй матрицы. Свойства: 1) A*(B*C) = (A*B)*C 2) (A+B)*C = A*C + B*C |
| Коммутирующие матрицы, частный случай с диагональной матрицей | Это две матрциы A и B, такие, что A*B = B*A. Это возможно только в том случае, если A и B являются квадратными матрицами одинакового порядка. Если матрица D - диагональная и все элементы главной диагонали равны d, то A*D = D*A = d*A. |
| Блочные матрицы и операции с ними | Блочная матрица - матрица, разделенная на секции вертикальными и горизонтальными чертами. Для таких матриц определены операции умножения на число (как умножение каждого блока на это число), сумма двух одинаково разбитых матриц (как сумма блоков) и умножение двух матриц. |
| Операция умножения двух блочных матриц | Для двух блочных матриц, таких, что число столбцов в блоке Aij равно числу строк в блоке Bjk, определена операция умножения. Каждый блок Cik равен сумме произведения Aij на Bjk по всем j. |
| Прямая сумма квадратных матриц и ее свойства | Для двух квадратных матриц порядков m и n определена операция прямой суммы: A ⊕ B = |A 0| |0 B| Свойства: 1) (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C) 2) (Am ⊕ An) + (Bm ⊕ Bn) = (Am + Bm) ⊕ (An + Bn) 3) (Am ⊕ An)*(Bm ⊕ Bn) = Am*Bm ⊕ An*Bn |
| Определитель | Численная характеристика матрицы. Для матрицы порядка 1 он равен элементу этой матрицы. Для матрицы других порядков он определяется как разложение по первой строке. Доказывается, что та же характеристика - разложение по любой строке или столбцу. |
| Формула для определителя n-го порядка через элементы матрицы (формула Лейбница) | Определитель можно рассчитать как сумму по всем возможным перестановкам чисел 1...n; каждое слагаемое - произведение a[k1,1] * a[k2,2] * ... * a[kn,n] на (-1) в степени четности перестановки |
| Минор первого и второго типа | Минор первого типа - определитель, получаемый из матрицы путем выбора из нее тех элементов, что стоят на пересечении выбранных k строк и k столбцов. Минор второго типа - определитель, получаемый вычеркиванием указанных k строк и k столбцов. |
| Теорема Лапласа | При любом номере k, меньшем n, и при любом наборе строк 1<= i1 < i2 < ... < ik <= n для определителя n-го порядка справедливо равенство сумме по всем возможным номерам столбцов 1 <= j1 < ... < jk <= n, где каждый элемент суммы - произведение соответствующего минора 1-го типа на минор 2-го типа на (-1) в степени суммы всех i и j. |
| Понятие линейной комбинации строк/столбцов | Говорят, что строка/столбец A является линейной комбинацией строк/столбцов Bi, если существуют такие числа ci, что: A = c1*B1 + ... + cn*Bn |
| Свойства определителя: транспонирование, перестановка строк/столбцов, линейное свойство | Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной. При перестановке двух строк/столбцов знак определителя меняется на противоположный. Если строка/столбец определителя является линейной комбинацией каких-либо строк, то определитель можно представить в виде двух определителей. |
| Следствия свойств определителя: одинаковые строки, умножение строки/столбца на число, нулевая строка/столбец, пропорциональность строк/столбцов, прибавление к строке/столбцу линейной комбинации других строк/столбцов | Определитель с двумя одинаковыми строками/столбцами равен 0, равно как и с нулевой строкой/столбцом или пропорциональными строками/столбцами. Если строку/столбец умножить на число k, то определитель также умножится на это число. Прибавление к строке/столбцу линейной комбинации других строк/столбцов не меняет величины определителя. |
| Алгебраическое дополнение элемента матрицы | Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор M(i,j), умноженный на (-1)^(i+j) |
| Псевдоразложение определителя по строке/столбцу | Сумма произведений алгебраических дополнений i-й строки/столбца на соответствующие элементы k-й строки/столбца равна 0 (если i != k) |
| Определитель нижне/верхнетреугольной матрицы относительно главной и побочной диагоналей | Определитель нижне/верхнетреугольной матрицы по главной диагонали равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Аналогично для побочной диагонали, но еще домноженный на (-1)^(n*(n+1)/2) |
| Определитель блочно-диагональных матриц | Определитель |A 0| |B C| Равен |A|*|C|. Аналогично |A B| |C 0| Равен (-1)^n * |B| * |C| |
| Определитель Вандермонда - вид и формула | Это определитель, у которого элементами i-й строки являются значения xj^(i-1). Он равен произведению всех возможных (xj - xi), таких что j > i. |
| Определитель суммы матриц | Определитель суммы двух квадратных матриц равен сумме всех возможных определителей (коих 2^n), которые получаются выбором части строк из первой матрицы и остальной части строк из второй матрицы. |
| Определитель произведения матриц, определитель прямой суммы матриц | Определитель произведения двух квадратных матриц, равно как и определитель прямой суммы двух квадратных матриц, равен произведению определителей этих матриц. |
| Понятие обратной матрицы | B - правая обратная матрица по отношению к A, если A*B = E C - левая обратная матрица по отношению к A, если C*A = E Если матрицы B и C существуют, то они совпадают. |
| Теорема о существовании левой и правой обратной матриц. Вид обратной матрицы. | Для того, чтобы у матрицы A существовали правая и левая обратная матрицы, необходимо и достаточно, чтобы det A != 0. Обратная матрица к A вычисляется как транспонированная матрица алгебраических дополнений, деленная на величину det A. |
| Понятие линейной зависимости строк/столбцов. Отношение линейной зависимости к линейной комбинации. | Говорят, что строки/столбцы Ai являются линейно зависимыми, если есть такие числа bi, не все равные 0, что: b1*A1 + ... + bn*An = 0 Чтобы строки/столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией других. |
| Минор k-го порядка и ранг матрицы | Минор k-го порядка матрицы A - определитель, составленный из элементов, лежащих на пересечении k строк и k столбцов матрицы A. Рангом матрицы называется число r, такое, что существует минор порядка r, отличный от нуля, но все миноры более высоких порядков равны нулю. |
| Теорема о базисном миноре | Базисный минор - минор порядка r, отличный от 0, где r - ранг матрицы. Строки и столбцы базисного минора линейно независимы. Любая строка/столбец матрицы, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией строк/столбцов базисного минора. |
| Теорема о линейной зависимости строк/столбцов и определителе | Для того, чтобы определитель n-го порядка det A был равен 0, необходимо и достаточно, чтобы его строки/столбцы были линейно зависимы. |
Want to create your own Flashcards for free with GoConqr? Learn more.