7183071
Description
Flashcards by Sergei Fomin, updated more than 1 year ago
|
Created by Sergei Fomin
almost 8 years ago
|
|
| Question | Answer |
| Линейное пространство | Множество элементов любой природы, на котором (1) задано правило, посредством которого любым эл-м x и y ставится в соответствие z (x+y), (2) задано правило, посредством которого любому эл-ту x и любому вещественному числу l ставится в соответствие элемент y=l*x, и (3) эти правила удовлетворяют 8 аксиомам. |
| Аксиомы линейного пространства | Коммутативность и дистрибутивность суммы, существование нулевого и обратного элемента, нейтральность единицы, коммутативность и дистрибутивность (х2) умножения. |
| Теорема о количестве нулевых элементов и противоположных в линейном пространстве | В любом линейном пространстве существует лишь один нулевой элемент. Для каждого элемента x существует лишь один противоположный элемент x'. |
| Теорема о выражении нулевого и противоположного элемента через произведение произвольного элемента на число | В любом л.п. нулевой элемент равен произведению 0*x, где x - любой элемент л.п. Аналогично противоположный к x элемент равен -1*x. |
| Понятие линейной комбинации элементов л.п. | Линейной комбинацией эл-в x, y, ..., z называют сумму вида: a1*x + a2*y + ... + ak*z, где ai - произвольные вещественные числа. |
| Линейная (не)зависимость элементов л.п. | Элементы x, y, ..., z называют линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа ai, не все равные 0, что: a1*x + a2*y + ... + ak*z = 0 Элементы называют линейно независимыми, если возможно только тривиальное решение этого уравнения (ai = 0) |
| Взаимосвязь линейной зависимости элементов и взаимной линейной комбинации. | Для того, чтобы элементы x, y, ..., z были линейно зависисимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией всех остальных. |
| Базис и координаты. Количество способов разложить элемент по базису. | Базисом л.п. R называется совокупность линейно независимых элементов e1, ..., en, таких, что любой элемент x из R является линейной комбинацией этих элементов. Координатами x в базисе ei называется упорядоченная совокупность n вещественных чисел, где i-е число равно коэффициенту при ei в разложении x. Разложение x по данному базису всегда единственно. |
| Теорема о координатах суммы двух элементов л.п. и о координатах произведения элемента л.п. на вещественное число. | При сложении любых двух элементов л.п. их координаты относительно любого базиса этого л.п. складываются; при умножении на число l - умножатся на это число. |
| Размерность линейного пространства. | Л.п. R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов являются линейно зависимыми. Если линейно независимых элементов бесконечно много, пространство называется бесконечномерным. |
| Теорема о базисе в n-мерном пространстве. | Любые n линейно независимых элемента n-мерного пространства R образуют базис в этом пространстве. |
| Теорема о связи размерности пространства и количестве элементов в базисе. | Если в пространстве R существует базис, состоящий из n элементов, то размерность R равна n. |
| Понятие изоморфизма л.п. | Два произвольных вещественных линейных пространства R и R' называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам x и y соответствуют x' и y', то сумме x+y соотвутствует сумма x'+y', а элементу l*x соответствует l*x'. |
| Теорема о связи размерности двух пространств и их изоморфности. | Любые два n-мерных вещественных линейных пространства изоморфны друг другу. |
| Линейное подпространство | Линейным подпространством называется подмножество L л.п. R, такое, что (1) если элементы x и y пр-т L, то x+y пр-т L, и (2) если x пр-т L, то l*x пр-т L для любого вещественного числа l. Всякое линейное подпространство само является линейным пространством. |
| Линейная оболочка | Линейной оболочкой эл-в x, y, ..., z называют множество всех возможных линейных комбинаций x, y, ..., z. Линейная оболочка является линейным подпространством основного пространства R. Л.о. - наиманьшее подпространство, содержащее x, y, ..., z. |
| Теорема о размерности линейной оболочки. | Размерность линейной оболочки элементов x, y, ..., z равна максимальному числу линейно независимых элементов в множестве {x, y, ..., z}. |
| Определение ранга матрицы через понятие линейной зависимости. | Ранг произвольной матрицы A равен максимальному числу линейно независимых строк/столбцов (их число равно). |
| Пересечение подпространств | Пересечением подпространств L1 и L2 называют совокупность всех элементов, принадлежащих одновременно L1 и L2. Эта совокупность сама является линейным подпространством. |
| Сумма подпространств | Суммой двух подпространств L1 и L2 называют множество элементов вида y+z, где y принадлежит L1, а z принадлежит L2. Это множество само является линейным подпространством. |
| Теорема о размерности суммы и пересечения двух подпространств. | dim(L1) + dim(L2) = dim(L1⋂L2) + dim(L1+L2) |
| Прямая сумма подпространств | Говорят, что R - прямая сумма подпространств L1 и L2, если любой элемент x из R можно единственным образом представить как y+z, где y пр-т L1 и z пр-т L2. Обозначение: R = L1 ⊕ L2 |
| Теорема о достаточном условии прямой суммы линейных подпространств | Для того, чтобы линейное пространство R представляло собой прямую сумму пространств L1 и L2, достаточно, чтобы пересечение L1 и L2 содержало только нулевой элемент, а dim(L1) + dim(L2) = dim(R). |
| Матрица перехода от одного базиса к другому | Матрицей перехода от старого базиса e к новому базису g называют матрицу, состоящую из элементов aij, где aij - коэффициент, стоящий в разложении элемента gi по базису e при элементе ej. |
| Обратимость матрицы перехода | Если A - матрица перехода от базиса e к базису g, то А^(-1) - матрица перехода от базиса g к базису e. |
| Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат | Если A - матрица перехода от базиса e к базису g, а x - вектор-столбец координат какого-то элемента в базисе e, то x' = (A^(-1))^T * x - координаты этого же элемента в базисе g. |
Want to create your own Flashcards for free with GoConqr? Learn more.