Definiciones.

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Convergencia de una sucesión.	Sea \((a_n)\) una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\). Se dice que \((a_n)\) converge hacia un elemento \(a\in \mathbb{K}\) cuando para cada número positivo \(\epsilon \in \mathbb{K}\) existe un \(n_0\in \mathbb{K}\) tal que \(\|a_n-a\|<\epsilon\) para todo \(n \geq n_0\).
Sucesión de Cauchy.	Se dice que una sucesión \((a_{n})\) de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) es una sucesión de Cauchy cuando para cada \(\epsilon>0\) de \(\mathbb{K}\) existe un número natural \(n_{0}\) tal que \(\|a_{p}-a_{q}\|<\epsilon\) para todo \(p\geq n_{o}\) y \(q\geq n_{0}\).
Cuerpo completo.	Se dice que un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) es completo cuando toda sucesión de Cauchy de elementos de \(\mathbb{K}\) es convergente en \(\mathbb{K}\).
Cuerpo arquimediano.	Se dice que un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) es arquimediano cuando para cualquier \(a\in\mathbb{K}\) existe un número natural \(n\in\mathbb{K}\) tal que \(a<n\).
Supremo de un conjunto.	Dado un conjunto \(A\) de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) se dice que un elemento \(a\in\mathbb{K}\) es el supremo de \(A\) cuando: 1. \(x\leq a\) para todo \(x\in A\), y 2. Para cada \(\epsilon>0\) de \(\mathbb{K}\) existe algún \(x\in A\) tal que \(x>a-\epsilon\).
Axioma del supremo.	Se dice que en un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) se verifica el axioma del supremo cuanto todo subconjunto \(A\) de \(\mathbb{K}\) no vacío y acotado superiormente tiene supremo en \(\mathbb{K}\).
Conjunto de los números reales.	El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado en el que se verifica el axioma del supremo.
Límite \(+\infty\) de una sucesión de números reales.	Se dice que una sucesión de números reales \((a_{n})\) tiene por límite \(+\infty\) y se escribe \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=+\infty\) cuando para cada \(k\in\mathbb{R}\) existe un \(n_{0}\in\mathbb{N}\) tal que \(a_{n}>k\) para todo \(n\geq n_{0}\).
Conjunto abierto.	Se dice que un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es abierto cuando para cada \(x\in A\) existe un intervalo abierto que contiene a \(x\) y está contenido en \(A\).
Conjunto cerrado.	Se dice que un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es cerrado cuando su complementario \(\mathbb{R}-A\) es abierto.
Interior de un conjunto.	Se dice que un punto \(x\in\mathbb{R}\) es interior a un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) cuando existe un entorno \(N(x)\) contenido en \(A\). El conjunto de todos los puntos interiores a \(A\) se llama interior de \(A\) y se designa por \(int(A)\).
Exterior de un conjunto.	Se dice que un punto \(x\in\mathbb{R}\) es exterior a un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) cuando existe un entorno \(N(x)\) contenido en \(\mathbb{R}-A\). El conjunto de todos los puntos exteriores a \(A\) se llama exterior de \(A\) y se designa por \(ext(A)\).
Frontera de un conjunto.	Se dice que un punto \(x\in\mathbb{R}\) es punto frontera de un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) cuando todo entorno de \(x\) contiene puntos de \(A\) y de \(\mathbb{R}-A\). El conjunto de todos los puntos frontera de \(A\) se llama frontera de \(A\) y se designa por \(fr(A)\).
Adherencia de un conjunto.	Se dice que un punto \(x\in\mathbb{R}\) es adherente a un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) cuando todo entorno de \(x\) contiene puntos de \(A\). El conjunto de los puntos adherentes de \(A\) se llama adherencia de \(A\) y se designa por \(adh(A)\).
Conjunto derivado de un conjunto.	Se dice que un punto \(x\in\mathbb{R}\) es punto de acumulación de un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) cuando todo entorno reducido de \(x\) contiene puntos de \(A\). El conjunto de los puntos de acumulación de \(A\) se llama conjunto derivado de \(A\) y se designa por \(ac(A)\).
Conjunto compacto.	Se dice que un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es compacto cuando de todo recubrimiento abierto de \(A\) se puede extraer un subrecubrimiento finito.
Límite de una función.	Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in A\). Se dice que \(f\) tiende a \(l\in\bar{\mathbb{R}}\) cuando \(x\rightarrow a\), y se escribe \[\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\] si para cada entorno \(N(l)\) existe un entorno \(N(a)\) tal que \(f(x)\in N(l)\) para todo \(x\in(A-\{a\})\cap N(a)\).
Continuidad de una función.	Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto \(a\in A\). Se dice que \(f\) es continua en \(a\) cuando \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=f(a)\] Es decir, cuando para cada \(\epsilon>0\) de \(\mathbb{R}\) existe un \(\delta>0\) de \(\mathbb{R}\) tal que \(\|f(x)-f(a)\|<\epsilon\) para todo \(x\in A\) que verifique que \(\|x-a\|<\delta\). Si es \(f\) continua en todo punto de \(A\), se dice que \(f\) es continua en \(A\)
Continuidad uniforme de una función.	Sea una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\). Se dice que \(f\) es uniformemente continua en \(A\) cuando para cada \(\epsilon>0\) de \(\mathbb{R}\) existe un \(\delta>0\) de \(\mathbb{R}\) tal que \(\|f(x)-f(y)\|<\epsilon\) para cualquier par de puntos \(x,\,y\in A\) tal que \(\|x-y\|<\delta\).
Derivabilidad de una función.	Sea A un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}\). Una función \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) se dice derivable en un punto \(a\in A\) cuando existe y es finito el límite \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] o cuando este límite es infinito y \(f\) es continua en \(a\). En ambos casos, dicho límite se designa por \(f'(a)\) y se llama derivada de \(f\) en \(a\). Si es \(f\) derivable en todo punto de \(A\), se dice que \(f\) es derivable en \(A\).

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	Created by Estefanía Barrionuevo about 8 years ago