Secciones Cónicas

Curvas Cónicas
1. Un poco de historia...
  1. Apolonio de Perga
    1. Parábola (colocar al lado o comparar)
    2. Hyperbola (avanzar más allá)
    3. Ellipsis (deficiencia)
    4. Propiedades útiles e interesantes de las cónicas
      1. Propiedades de Reflexión
      2. Propiedad Análoga
  2. René Descartes
    1. Crea la Geometría Analítica
      1. Método para relacionar las curvas con ecucaciones
      2. Las curvas cónicas
        Se representan por
        Ecuaciones de segundo grado
        Con las variables "x" e "y"
  3. Menecmo (siglo 350 A.C)
    1. Descubrió estas curvas
  4. Arquímedes
    1. Pone a prueba la propiedad reflexiva de la Parábola
      1. La leyenda de Arquímedes en la cual incendia las naves romanas a partir de las propiedades
2. Se obtienen cortando un cono con un plano
Superficie cónica
1. Generatriz (g)
  1. Recta oblicua
2. Eje (e)
  1. Recta fija - eje de rotación
3. Vértice (v)
  1. Punto central - Corte
4. Las Hojas
  1. Las 2 partes de la superficie cónica
  2. Los separa el vértice
Intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice
Circunferencias
1. Definiciones
  1. Lugar geométrico de los puntos que equidistan con un punto central (Centro)
  2. Tipo de elipse con excentricidad nula
2. Centro = C(h, k)
3. Ecuación Canónica
  1. √((x-a)^2 + (y-b)^2) = d(C,P)
    1. (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
    2. x^2 + y^2 = r^2
  2. Si...
    1. C = (0,0) "En el origen"
    2. Si la desarrollamos la ecuación canónica y la igualamos a 0
4. Ecuación General
  1. x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0
    1. x^2 + y^2 + Dx +Ey + F = 0
  2. Si...
    1. Cambiamos ->
      1. D = -2a
        E = -2b
        F = a^2 + b^2 - r^2
5. Para caracterizar la ecuación general, se expresa en forma canónica
  1. x^2 + y^2 + Dx +Ey + F = 0
    1. Por completación de cuadrados
      1. [x^2 + Dx + (D^2)/2] + [y^2 + Ey + (E^2)/2] = - F + (D^2)/4 + (E^2)/4
        (x + D/2)^2 + (y + E/2)^2 = (D^2)/4 + (E^2)/4 - F
        De lo anterior podemos concluir que...
        C(-D/2 , -E/2)
        Para que la expresión del tipo: x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0 sea una circunferencia debe cumplir que:
        Los coeficientes de x^2 e y^2 sean iguales a la unidad.
        Si ambos tuvieran un mismo coeficiente distinto a 1 entonces...
        podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación
6. Usos en la cotidianidad
Elipses
1. Definiciones
  1. lugar geométrico
  2. los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
2. Elementos de los elipses
  1. Focos
  2. Eje Focal
  3. Eje secundario
  4. Centro
  5. Radios vectores
  6. Distancia focal
  7. Vértices
  8. eje mayor
  9. Eje menor
  10. Ejes de simetría
  11. Centro de simetría
3. Ecuación
  1. d(P, F) + d(P, F') = 2a
    1. √((x-c)^2 + y^2 ) + √((x+c)^2 + y^2 ) = a
      1. (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
4. Excentricidad
  1. Número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse.
5. Usos en la cotidianidad
Hipérbolas
1. Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
2. Elementos de la hipérbola
  1. Focos
  2. Eje Focal
  3. Eje secundario o imaginario
  4. Asíntotas
  5. Centro
  6. Vértices
  7. Radios vectores
  8. Distancia focal
  9. Ejes de simetría
  10. Eje mayor
  11. Eje menor
3. Ecuación
  1. c^2 = a^2 + b^2
4. Usos en la cotidianidad
Parábolas
1. Definiciones
  1. Lugar Geométrico de los puntos del plano
    1. Equidistan
      1. Punto fijo llamado foco
      2. Recta fija llamada directriz
2. Elementos de la parábola
  1. Foco
  2. Directriz
  3. Parámetro
  4. Eje
  5. Vértice
  6. Radio Vector
3. Ecuación reducida parábola
  1. Eje horizontal
    1. y^2 = 2px
  2. Eje Vertical
    1. x^2 = 2py
4. Ecuación parábola
  1. Eje horizontal
    1. (y - b)^2 = 2p(x – a)
  2. Eje Vertical
    1. (x - a)^2 = 2p(y – b)
5. Usos en la cotidianidad

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