Matrices, Vectores y Determinantes

Vectores
1. segmento de recta en el espacio que parte de un punto hacia otro con dirección, sentido y magnitud
  1. Expresión algebraica de un vector
    1. conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.
      1. Expresión Algebraica de un vector: Es un conjunto de elementos ordenados en renglon o columna.
  2. norma vectorial
    1. el concepto de norma de un vector es una generalización del concepto de valor absoluto o módulo de un número complejo
  3. ángulos directores
    1. Se llaman ANGULOS DIRECTORES de un vector V, con componentes (v1, v2, v3), a los cosenos de los ángulos que la misma forma con las direcciones positivas de los ejes x, y, z respectivamente (ángulos directores). Como los ángulos directores varían entre 0 y π(0º y 180º); entonces los cosenos directores podrán ser positivos o negativos
  4. vectores unitarios
    1. Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1
      1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo
        Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje
Propiedades de los Vectores
1. conmutativa
  1. propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma
2. asociativa
  1. forma de agrupar los vectores no altera la resultante
3. distributiva
  1. propiedad que relaciona la multiplicación y la suma
4. inverso aditivo
  1. propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero
operaciones básicas con vectores
1. suma
2. resta
3. multiplicación
  1. Producto de un vector por un escalar
  2. Producto escalar
  3. Producto vectorial
  4. Producto mixto
vectores base
producto punto
1. El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman
producto vectorial.
1. Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial R3 El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector, c.
  1. El producto vectorial a y b se denota mediante a x b, por ello se lo llama también producto cruz
Matriz
1. una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas
  1. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos
    1. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas
Tipos de matrices
1. Matriz cuadrada
  1. mismo número de filas que de columnas
2. Matriz Rectangular
  1. distinto número de filas que de columnas
3. Matriz de lado lineal o vertical
  1. tiene más filas que columnas.
4. Matriz Horizontal
  1. tiene más columnas que filas
5. Matriz Diagonal
  1. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal
6. Matriz Escalar
  1. Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales
7. Matriz Escalonada
  1. Es toda matriz en la que si existe alguna fila nula
8. Matriz Triangular superior
  1. es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos
9. Matriz Triangular inferior
  1. triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros
10. Matriz Identidad
  1. Se llama matriz identidad de orden n y se nota en una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
11. Matriz Nula o Matriz Cero
  1. Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos,
12. Matriz Opuesta
  1. Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original
13. Matriz Traspuesta
14. Matriz Simétrica
15. Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica
Operaciones con matrices
1. Suma y resta
2. Multiplicación
  1. Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz
3. División
  1. La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador
operaciones elementales sobre matrices
1. Una matriz elemental de orden n es una matriz que se obtiene a partir de la matriz identidad In aplicando solo una operación elemental de fila o columna, i,e:
  1. Por escalamiento (Intercambio de filas)
  2. Producto de fila por un escalar o suma de una fila con una combinación lineal de otras (eliminación)
  3. Por permutación
Matriz inversa.
1. Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.
Determinantes
1. El determinante de una matriz determinada si los sistemas son singulares o mal condicionados.
  1. Sirve para determinar la existencia y la unidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.
determinantes ?x?
1. El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz
propiedades de los determinantes
1. El det. de una matriz es igual al det. de su traspuesta
2. El det. de un producto de matrices es igual al producto de los det. de ambas matrices
3. Si en un det. intercambiamos dos líneas (filas o columnas) el det. cambia de signo
4. Si en un det. alguna de las líneas son todo ceros, el det. vale cero.
5. Un det. con dos filas iguales (o dos columnas iguales) vale cero.
6. Un det. con dos filas proporcionales (o dos columnas proporcionales) vale cero
7. Si multiplicamos por un número una línea de un det., el valor del det. también queda multiplicado por dicho número
8. Cuando una línea puede descomponerse en suma de dos sumandos , el det. puede descomponerse en una suma de det.

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