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Mind Map by Jefferson Hinojoza, updated more than 1 year ago
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Transformada de Laplace
- Definición
- Sea ?:[0, ∞) → ? una función definida para
? ≥ 0 entonces a la función F definida por:
- Se llama transformada de Laplace de
“f”, siempre que el límite exista
- Donde: ?(?) = ℒ{?(?)} : Transformada
directa de Laplace o Laplaciana de f(t),
también se expresa como: F(s) ≒ ?(?)
: operador transformada de Laplace u
operador Laplaciano y se llama
operador a “ℒ” porque transforma a la
?(?) en F(S). La letra “s” se define
como frecuencia compleja
- Donde: ?(?) = ℒ{?(?)} : Transformada
directa de Laplace o Laplaciana de f(t),
también se expresa como: F(s) ≒ ?(?)
: operador transformada de Laplace u
operador Laplaciano y se llama
operador a “ℒ” porque transforma a la
?(?) en F(S). La letra “s” se define
como frecuencia compleja
- Las condiciones suficientes que garantizan la
existencia de TL son que f(t) sea continua por
tramos o seccionalmente continua para ? ≥ 0
y además que sea de orden exponencial para
t > T.
- Condiciones
- Se define la TL de la función continua
“Siempre que esta integral converja para
ciertos valores de s”
- Condiciones suficientes para la
existencia de la TL
- Condiciones suficientes para la
existencia de la TL
- Se define la TL de la función continua
“Siempre que esta integral converja para
ciertos valores de s”
- Condiciones
- Se llama transformada de Laplace de
“f”, siempre que el límite exista
- Sea ?:[0, ∞) → ? una función definida para
? ≥ 0 entonces a la función F definida por:
- Funciones
- Funciones
continuas a
tramos
- Definición
- Se plantea que una función
?(?) es continua por tramos en
un intervalo definido [?, ?] si:
- - ?(?) es continua en todo punto de [a,
b] salvo a lo más en un número finito
de puntos tk, para k = 1, 2,…, n. - Para
cada tk [a, b] los limites existen
- - ?(?) es continua en todo punto de [a,
b] salvo a lo más en un número finito
de puntos tk, para k = 1, 2,…, n. - Para
cada tk [a, b] los limites existen
- Se plantea que una función
?(?) es continua por tramos en
un intervalo definido [?, ?] si:
- Definición
- Función de orden
exponencial
- Definición
- la función ?(?) está por debajo de una
función exponencial, como se muestra
en la figura siguiente
- Observación: para verificar que una función
es de orden exponencial, lo primero que se
tiene que hacer es calcular el siguiente
límite:
- Para algún valor de “?”. Si L es finito, entonces
“M” puede ser cualquier número mayor que
L. Si por el contrario, si ? = ∞, la función no es
de orden exponencial.
- Para algún valor de “?”. Si L es finito, entonces
“M” puede ser cualquier número mayor que
L. Si por el contrario, si ? = ∞, la función no es
de orden exponencial.
- Observación: para verificar que una función
es de orden exponencial, lo primero que se
tiene que hacer es calcular el siguiente
límite:
- la función ?(?) está por debajo de una
función exponencial, como se muestra
en la figura siguiente
- Definición
- Función Original
- Definición:
- Se llama función original a una
función ?(?) de variable real o
compleja de argumento real que
cumple con las siguientes
condiciones:
- Tomando en cuenta la definición
de función original, la función
?(?) es de variable compleja, su
forma será, f(t) = f 1 (t) + j f2 (t)
- Tomando en cuenta la definición
de función original, la función
?(?) es de variable compleja, su
forma será, f(t) = f 1 (t) + j f2 (t)
- Se llama función original a una
función ?(?) de variable real o
compleja de argumento real que
cumple con las siguientes
condiciones:
- Definición:
- Funciones
continuas a
tramos
- PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA
DE LAPLACE
- Definición
- Debemos considerar que ?(?), ?(?)
son señales continuas y cada una
de ellas cumple con las
condiciones de existencia de la
transformada de Laplace
- HOMOGENEIDAD
- una función está multiplicada por
una constante, la propiedad de
las integrales no la considera para
efectos de integración, esto hace
que este factor salga de la
transformada de Laplace y sea
también factor pero de la función
ya transformada:
- una función está multiplicada por
una constante, la propiedad de
las integrales no la considera para
efectos de integración, esto hace
que este factor salga de la
transformada de Laplace y sea
también factor pero de la función
ya transformada:
- LINEALIDAD
- la transformada de la
suma de dos funciones
es igual a la suma de
las transformadas.
- ?(?) = ℒ[??(?) + ??(?)] = ?ℒ{?(?)} + ?ℒ{?(?)} = ??(?) + ??(?)
- ?(?) = ℒ[??(?) + ??(?)] = ?ℒ{?(?)} + ?ℒ{?(?)} = ??(?) + ??(?)
- la transformada de la
suma de dos funciones
es igual a la suma de
las transformadas.
- CAMBIO DE ESCALA EN EL
TIEMPO
- si en una función en el dominio
del tiempo, tiene como factor
una constante, la transformada
cambia de acuerdo a dicha
constante:
- Teorema: [Propiedad de cambio de
escala] Sea f(t) una función continua a
trozos y de orden exponencial en [0,
+), si c 0, entonces
- Teorema: [Propiedad de cambio de
escala] Sea f(t) una función continua a
trozos y de orden exponencial en [0,
+), si c 0, entonces
- si en una función en el dominio
del tiempo, tiene como factor
una constante, la transformada
cambia de acuerdo a dicha
constante:
- DERIVACIÓN EN EL TIEMPO
- La diferenciación en el
dominio del tiempo es
equivalente a una
multiplicación por s en el
dominio de la frecuencia.
- La diferenciación en el
dominio del tiempo es
equivalente a una
multiplicación por s en el
dominio de la frecuencia.
- TEOREMAS
DE
TRASLACIÓN
- Si conocemos que ℒ{?(?)}
= ?(?) , podemos calcular
la transformada de ℒ{?
???(?)} como una
traslación, de F(s) a F(s –
k), como lo enuncia el
siguiente teorema.
- FUNCIÓN
HEAVISIDE
- Por ejemplo, una fuerza
externa que actúa sobre un
sistema mecánico o una tensión
eléctrica aplicada a un circuito
- Por ejemplo, una fuerza
externa que actúa sobre un
sistema mecánico o una tensión
eléctrica aplicada a un circuito
- Si conocemos que ℒ{?(?)}
= ?(?) , podemos calcular
la transformada de ℒ{?
???(?)} como una
traslación, de F(s) a F(s –
k), como lo enuncia el
siguiente teorema.
- DERIVACIÓN EN
FRECUENCIA O
DIFERENCIACIÓN DE
LA IMAGEN
- Si derivamos con respecto
a s en frecuencia,
obtenemos en el dominio
del tiempo un factor de – ?.
- Si derivamos con respecto
a s en frecuencia,
obtenemos en el dominio
del tiempo un factor de – ?.
- HOMOGENEIDAD
- Debemos considerar que ?(?), ?(?)
son señales continuas y cada una
de ellas cumple con las
condiciones de existencia de la
transformada de Laplace
- Definición
- Teoremas de valor
inicial y de valor final
- DEFINICION
- Los teoremas del valor inicial (TVI) y el valor final
(TVF) permitirá descubrir el valor inicial ?(0 +) y el
valor final de ?(∞) de la señal ?(?) cuya
transformada de Laplace F (s) es conocida
- Teorema [Del valor inicial]
- Teorema [Del valor final]
- Teorema [Del valor inicial]
- Los teoremas del valor inicial (TVI) y el valor final
(TVF) permitirá descubrir el valor inicial ?(0 +) y el
valor final de ?(∞) de la señal ?(?) cuya
transformada de Laplace F (s) es conocida
- DEFINICION
- La transformada
inversa de Laplace
- Teorema
- Forma inversa del segundo
teorema de traslación
- TRANSFORMADA
INVERSA DE LA
CONVOLUCIÓN
- Linealidad de la
transformada
inversa
- Forma inversa del primer
teorema de traslación
- Corolario
- Forma inversa del segundo
teorema de traslación
- Teorema
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