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3. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS GUIADAS
- 3.1 Introducción
- Un sistema de transmisión es la
vía o medio de transmisión , este
medio puede abierto, semicerrado
y cerrado.
- Un medio cerrado o limitado es aquel que confina las
ondas a un espacio reducido limitado generalmente
por conductores en forma parecida al agua que se
dirige a través de cañerías. Se dice entonces que las
ondas van guiadas ya que el flujo de energía
electromagnética sigue la dirección del sistema de
transmisión.
- Un sistema semicerrado es aquel en que las
ondas van guiadas por un sistema, conductor o
dieléctrico, pero sin quedar totalmente
encerrados por un conductor. Tal es el caso de la
línea bifilar. Sin embargo, en los casos prácticos
de interés estos sistemas pueden considerarse
cerrados.
- El medio es abierto o ilimitado si la energía
electromagnética se propaga sin estar
constreñida por medios conductores o
dieléctricos. Tal es el caso de las ondas que se
propagan por el espacio libre entre una antena
emisora y una antena receptora.
- Partiremos de las ecuaciones de Maxwell,
resolviéndolas sujetas a las condiciones de
contorno que imponga el sistema. No estudiaremos
el problema en su completa generalidad, sino que
postularemos ciertas premisas, por supuesto no
arbitrarias, que simplifican el problema.
- Partiremos de las ecuaciones de Maxwell,
resolviéndolas sujetas a las condiciones de
contorno que imponga el sistema. No estudiaremos
el problema en su completa generalidad, sino que
postularemos ciertas premisas, por supuesto no
arbitrarias, que simplifican el problema.
- El medio es abierto o ilimitado si la energía
electromagnética se propaga sin estar
constreñida por medios conductores o
dieléctricos. Tal es el caso de las ondas que se
propagan por el espacio libre entre una antena
emisora y una antena receptora.
- Un sistema semicerrado es aquel en que las
ondas van guiadas por un sistema, conductor o
dieléctrico, pero sin quedar totalmente
encerrados por un conductor. Tal es el caso de la
línea bifilar. Sin embargo, en los casos prácticos
de interés estos sistemas pueden considerarse
cerrados.
- Un medio cerrado o limitado es aquel que confina las
ondas a un espacio reducido limitado generalmente
por conductores en forma parecida al agua que se
dirige a través de cañerías. Se dice entonces que las
ondas van guiadas ya que el flujo de energía
electromagnética sigue la dirección del sistema de
transmisión.
- Un sistema de transmisión es la
vía o medio de transmisión , este
medio puede abierto, semicerrado
y cerrado.
- 3.2 Ecuaciones de
ondas
- Las ecuaciones de Maxwell que relacionan
los campos eléctrico y magnético en un
medio dieléctrico homogéneo libre de cargas
y corrientes son:
- Siendo ? y ?, permeabilidad y permitividad del dieléctrico,
cantidades escalares. Aplicando álgebra vectorial con esas
ecuaciones conduce a las ecuaciones de onda homogéneas.
- Suponiendo la variación de tipo
senoidal, con lo que las
ecuaciones quedan:
- Siendo K el numero de onda:
- Si llamamos ? a la constante de
propagación, la solución será de la
forma:
- Para sistemas cilíndricos el operador Laplaciano puede descomponerse en parte transversal y
parte axial, entonces la ecuación de onda queda de la forma:
- Por último descomponemos el vector ?̅ en sus componentes axial y transversal, con lo cual la ecuación
(3.5) puede desglosarse en
- Expresamos los campos eléctrico y
magnético en la forma:
- Consideremos la ecuación de Maxwell
- Que se puede descomponer de la forma:
- Igualando las componentes transversales y axiales de ambos
miembros obtenemos las siguientes igualdades
- Considerando la ecuacion anterior de maxwell.
Multiplicando la ecuación por ??? y sustituyendo ????̅ ? por
su valor dado obtenemos:
- Considerando las propiedades de los conjuntos tenemos que:
- Realizando un procedimiento similar
obtenemos la ecuacion :
- Estas ecuaciones nos expresan las componentes transversales de los
campos eléctrico y magnético en función de las componentes axiales y
de la constante de propagación.
- Así pues, para obtener las expresiones de los campos
electromagnéticos en un sistema de transmisión bastara resolver al par
de ecuaciones sujetas a las condiciones de contorno del sistema,
determinando así las expresiones de E? , H? y de la constante de
propagación .
- Así pues, para obtener las expresiones de los campos
electromagnéticos en un sistema de transmisión bastara resolver al par
de ecuaciones sujetas a las condiciones de contorno del sistema,
determinando así las expresiones de E? , H? y de la constante de
propagación .
- Estas ecuaciones nos expresan las componentes transversales de los
campos eléctrico y magnético en función de las componentes axiales y
de la constante de propagación.
- Realizando un procedimiento similar
obtenemos la ecuacion :
- Considerando las propiedades de los conjuntos tenemos que:
- Considerando la ecuacion anterior de maxwell.
Multiplicando la ecuación por ??? y sustituyendo ????̅ ? por
su valor dado obtenemos:
- Igualando las componentes transversales y axiales de ambos
miembros obtenemos las siguientes igualdades
- Que se puede descomponer de la forma:
- Consideremos la ecuación de Maxwell
- Expresamos los campos eléctrico y
magnético en la forma:
- ec. 3.5
- Por último descomponemos el vector ?̅ en sus componentes axial y transversal, con lo cual la ecuación
(3.5) puede desglosarse en
- Para sistemas cilíndricos el operador Laplaciano puede descomponerse en parte transversal y
parte axial, entonces la ecuación de onda queda de la forma:
- Si llamamos ? a la constante de
propagación, la solución será de la
forma:
- Siendo K el numero de onda:
- Suponiendo la variación de tipo
senoidal, con lo que las
ecuaciones quedan:
- Siendo ? y ?, permeabilidad y permitividad del dieléctrico,
cantidades escalares. Aplicando álgebra vectorial con esas
ecuaciones conduce a las ecuaciones de onda homogéneas.
- Las ecuaciones de Maxwell que relacionan
los campos eléctrico y magnético en un
medio dieléctrico homogéneo libre de cargas
y corrientes son:
- 3.3 Modos de propagación (TEM,
TM, TE). Cálculo de las
impedancias
- La clasificación es la siguiente:
- 1.- MODOS TRANSVERSALES ELECTROMAGNÉTICOS, o
modos TEM. Son ondas que no poseen componentes
axiales, es decir ?? = ?? = 0. Todas las componentes
transversales del campo eléctrico derivan del
gradiente de una función escalar Φ(?1,?2) función de
las coordenadas transversales.
- 2.- MODOS TRANSVERSALES MAGNÉTICOS, o
modos TM. son ondas que no tienen
componente axial del campo magnético, es decir
?? = 0. Todas las componentes pueden hallarse
a partir de la componente axial del campo
eléctrico ?? .
- 3.- MODOS TRANSVERSALES ELÉCTRICOS, o
modos TE. Son ondas que no tienen componente
axial del campo eléctrico, es decir ?? = 0. Todas
las componentes pueden hallarse a partir de la
componente axial del campo magnético ?? .
- Esta clasificación no es arbitraria. Más adelante
tendremos ocasión de comprobar como para la
mayoría de los casos prácticos estos modos
existen y verifican por sí solos las condiciones de
contorno.
- Modos
TEM.
- Ecuación de Laplace en dos
dimensiones:
- Es importante, pues nos permite afirmar que la
distribución transversal del campo eléctrico de los modos
TEM es igual que la distribución electrostática transversal.
o. Esta afirmación se hace más evidente si comprobamos
que de la ecuación obtenemos en este caso
- Lo cual implica que el campo
eléctrico transversal deriva de una
función potencial escalar Φ(?1,?2),
es decir
- correspondiente el signo positivo a la onda
incidente y el negativo a la reflejada y siendo
- la impedancia de onda de los
modos TEM
- la impedancia de onda de los
modos TEM
- demuestra que los campos eléctrico
y magnético son perpendiculares
entre sí y sus magnitudes están
relacionadas por una impedancia
que llamaremos impedancia de
onda TEM que depende únicamente
del medio dieléctrico por él se
propaga la onda.
- correspondiente el signo positivo a la onda
incidente y el negativo a la reflejada y siendo
- Lo cual implica que el campo
eléctrico transversal deriva de una
función potencial escalar Φ(?1,?2),
es decir
- Es importante, pues nos permite afirmar que la
distribución transversal del campo eléctrico de los modos
TEM es igual que la distribución electrostática transversal.
o. Esta afirmación se hace más evidente si comprobamos
que de la ecuación obtenemos en este caso
- Ecuación de Laplace en dos
dimensiones:
- Modos
TM
- La componente axial del campo magnético
es nula. Todas las componentes de los
campos pueden hallarse a partir de ?̅ ? .
- Siendo kc el
numero de onda de
corte
- con ?? = 0 obtenemos
las componentes
transversales
- Impedancia de onda transversal TM.
- Puesto que la componente ?? es tangencial
expresaremos la condición de contorno de
la ecuación diciendo que ?? = 0 en el
contorno.
- Esta condición en la componente ?? lleva
implícitas las restantes condiciones para el resto
de componentes. Así pues, la condición ?? = 0 en
el contorno es suficiente.
- Esta condición en la componente ?? lleva
implícitas las restantes condiciones para el resto
de componentes. Así pues, la condición ?? = 0 en
el contorno es suficiente.
- Puesto que la componente ?? es tangencial
expresaremos la condición de contorno de
la ecuación diciendo que ?? = 0 en el
contorno.
- Impedancia de onda transversal TM.
- con ?? = 0 obtenemos
las componentes
transversales
- Siendo kc el
numero de onda de
corte
- La componente axial del campo magnético
es nula. Todas las componentes de los
campos pueden hallarse a partir de ?̅ ? .
- Modos
TE.
- Para este tipo de ondas la
componente axial del campo eléctrico
?? es nula. Todas las componentes de
los campos pueden hallarse a partir
de ?? .
- Siguiendo un camino similar al anterior es
fácil demostrar que las componentes
transversales están relacionadas por medio de
una impedancia
- indica además que las componentes
transversales de los campos eléctrico y
magnético son perpendiculares entre sí.
- podemos expresar ?̅?? en
la forma
- es decir, expresando el gradiente sus componentes normal y tangencial.
- es decir, expresando el gradiente sus componentes normal y tangencial.
- podemos expresar ?̅?? en
la forma
- indica además que las componentes
transversales de los campos eléctrico y
magnético son perpendiculares entre sí.
- Siguiendo un camino similar al anterior es
fácil demostrar que las componentes
transversales están relacionadas por medio de
una impedancia
- Para este tipo de ondas la
componente axial del campo eléctrico
?? es nula. Todas las componentes de
los campos pueden hallarse a partir
de ?? .
- Modos
TEM.
- Esta clasificación no es arbitraria. Más adelante
tendremos ocasión de comprobar como para la
mayoría de los casos prácticos estos modos
existen y verifican por sí solos las condiciones de
contorno.
- 1.- MODOS TRANSVERSALES ELECTROMAGNÉTICOS, o
modos TEM. Son ondas que no poseen componentes
axiales, es decir ?? = ?? = 0. Todas las componentes
transversales del campo eléctrico derivan del
gradiente de una función escalar Φ(?1,?2) función de
las coordenadas transversales.
- La clasificación es la siguiente:
- 3.4 Propiedades de corte
de los modos TE y TM
- Observemos que para frecuencias tales
que ? es mayor que ?? la constante de
propagación es imaginaria pura, es decir
- Para frecuencias tales que ? < ?? la
constante de propagación es real
- Así, pues una característica de estos modos, que los
diferencia de los TEM, es que sólo existe propagación
para frecuencias superiores a una que se denomina
frecuencia de corte.
- Estas frecuencias se determinan a partir del
valor de ?? escribiendo, por analogía con ?,
- Para valores de la frecuencia mucho mayores que
la frecuencia de corte ? tiende a ?, constante de
propagación de un modo TEM. Para frecuencias
muy inferiores a la frecuencia de corte la
constante de atenuación tiende a ?�
- Es frecuente en la práctica escribir la
constante de propagación en la forma
- En lugar de la definición de frecuencia
de corte se puede usar también el
parámetro longitud de onda de corte,
definido por
- siendo ? la longitud de la
onda en el espacio
dieléctrico libre, es decir,
- endo ? = (??) −1⁄2 la
velocidad de la luz en el
medio dieléctrico.
- La longitud de onda en la guía (??) definida
como la distancia entre puntos que tiene
igual fase es pues
- La impedancia Z?? y
Z?? pueden escribirse
como
- siendo ? = √?⁄? la impedancia de
onda del espacio libre.
- Estas impedancias son reales para frecuencias por
encima de la frecuencia de corte e imaginarias
puras por debajo del corte. Esto indica nuevamente
que no puede haber transmisión de potencia ya que
una impedancia reactiva refleja toda la potencia
que le llega
- Estas impedancias son reales para frecuencias por
encima de la frecuencia de corte e imaginarias
puras por debajo del corte. Esto indica nuevamente
que no puede haber transmisión de potencia ya que
una impedancia reactiva refleja toda la potencia
que le llega
- siendo ? = √?⁄? la impedancia de
onda del espacio libre.
- La impedancia Z?? y
Z?? pueden escribirse
como
- La longitud de onda en la guía (??) definida
como la distancia entre puntos que tiene
igual fase es pues
- endo ? = (??) −1⁄2 la
velocidad de la luz en el
medio dieléctrico.
- siendo ? la longitud de la
onda en el espacio
dieléctrico libre, es decir,
- En lugar de la definición de frecuencia
de corte se puede usar también el
parámetro longitud de onda de corte,
definido por
- Es frecuente en la práctica escribir la
constante de propagación en la forma
- Para valores de la frecuencia mucho mayores que
la frecuencia de corte ? tiende a ?, constante de
propagación de un modo TEM. Para frecuencias
muy inferiores a la frecuencia de corte la
constante de atenuación tiende a ?�
- Estas frecuencias se determinan a partir del
valor de ?? escribiendo, por analogía con ?,
- Así, pues una característica de estos modos, que los
diferencia de los TEM, es que sólo existe propagación
para frecuencias superiores a una que se denomina
frecuencia de corte.
- Para frecuencias tales que ? < ?? la
constante de propagación es real
- Observemos que para frecuencias tales
que ? es mayor que ?? la constante de
propagación es imaginaria pura, es decir
- 3.5 Velocidades de ondas, velocidad
de fase y velocidad de grupo
- Es también de sobra conocido que las
ondas planas se propagan por el espacio
libre à la velocidad de la luz.
- Sin embargo, de lo expuesto hasta ahora en la
lección presente, se deduce la existencia de otro
tipo de modos de transmitir ondas algo más
complicadas que las ondas planas o las
transversales electromagnéticas (TEM). Cabe
pues preguntarse si las señales transmitidas a lo
largo de guiaondas se propagarán a la velocidad
de la luz.
- VELOCIDAD DE FASE
- El campo eléctrico o magnético
de una onda senoidal
monocromática en la dirección
positiva del eje z viene
representado po
- donde A representa indistintamente el
campo eléctrico o el magnatico.
- . Puesto que el vector ?̅(?, ?) es
constante con z y t lo que ha de
mantenerse constante es la fase de la
onda. Es decir
- Para modos TEM, teniendo
en cuenta que ? = ?√??
resulta que
- es decir, la velocidad de fase es
la velocidad de la luz en el
medio dieléctrico
- En el caso de modos TE y TM
teniendo en cuenta que ? =
?√??[1 − ( ?? ? ) 2 ] 1 2 la
velocidad de fase es
- Para modos que se propagan, es
decir, para frecuencia superiores la
de corte, la velocidad de fase resulta
ser mayor que la velocidad de la luz.
- Si llamamos a esta frecuencia ? + ??
y ? − ?? , siendo ?? ≪ ? la señal en
un punto z será la superposición de
- donde ? + ?? y ? − ?? son las
constantes de propagación
correspondientes a la frecuencias
anteriores. La onda resultante es pues
- De ella se deduce que la velocidad a que
debe moverse un observador para ver
siempre el mismo valor de la amplitud es
ahora
- Donde ?? es ahora la velocidad de
grupo, pues representa la velocidad a
que se propaga el grupo de señales.
- Donde ?? es ahora la velocidad de
grupo, pues representa la velocidad a
que se propaga el grupo de señales.
- De ella se deduce que la velocidad a que
debe moverse un observador para ver
siempre el mismo valor de la amplitud es
ahora
- donde ? + ?? y ? − ?? son las
constantes de propagación
correspondientes a la frecuencias
anteriores. La onda resultante es pues
- Si llamamos a esta frecuencia ? + ??
y ? − ?? , siendo ?? ≪ ? la señal en
un punto z será la superposición de
- Para modos que se propagan, es
decir, para frecuencia superiores la
de corte, la velocidad de fase resulta
ser mayor que la velocidad de la luz.
- En el caso de modos TE y TM
teniendo en cuenta que ? =
?√??[1 − ( ?? ? ) 2 ] 1 2 la
velocidad de fase es
- es decir, la velocidad de fase es
la velocidad de la luz en el
medio dieléctrico
- Para modos TEM, teniendo
en cuenta que ? = ?√??
resulta que
- . Puesto que el vector ?̅(?, ?) es
constante con z y t lo que ha de
mantenerse constante es la fase de la
onda. Es decir
- donde A representa indistintamente el
campo eléctrico o el magnatico.
- El campo eléctrico o magnético
de una onda senoidal
monocromática en la dirección
positiva del eje z viene
representado po
- VELOCIDAD DE GRUPO
- Puesto que las ecuaciones de Maxwell en
medios de transmisión son generalmente
lineales, el teorema de superposición puede
ser utilizado. Por medio de la transformada
de Fourier, una función del tiempo puede
tratarse como la superposición de señales
monocromáticas en el dominio de la
frecuencia
- Si π /r << ?? el grupo de frecuencias a
transmitir es muy estrecho y podremos
considerar que la señal se transmite a la
velocidad de grupo.
- La señal viaja por el sistema y en un
punto z del medio el espectro viene dado
por
- La señal en el punto z la reconstruiremos
tomando la transformada inversa de ?(?, ?)
- la función ?(?) puede desarrollarse en serie de
Taylor alrededor de la frecuencia ?? en la forma
- Para grupos estrechos en que ? − ?? es muy
pequeño podemos linealizar la expresión
- Que puede escribirse como
- La velocidad a que se ha
propagado la señal es pues
- La velocidad a que se ha
propagado la señal es pues
- Que puede escribirse como
- Para grupos estrechos en que ? − ?? es muy
pequeño podemos linealizar la expresión
- la función ?(?) puede desarrollarse en serie de
Taylor alrededor de la frecuencia ?? en la forma
- La señal en el punto z la reconstruiremos
tomando la transformada inversa de ?(?, ?)
- La señal viaja por el sistema y en un
punto z del medio el espectro viene dado
por
- Si π /r << ?? el grupo de frecuencias a
transmitir es muy estrecho y podremos
considerar que la señal se transmite a la
velocidad de grupo.
- Puesto que las ecuaciones de Maxwell en
medios de transmisión son generalmente
lineales, el teorema de superposición puede
ser utilizado. Por medio de la transformada
de Fourier, una función del tiempo puede
tratarse como la superposición de señales
monocromáticas en el dominio de la
frecuencia
- VELOCIDAD DE FASE
- Sin embargo, de lo expuesto hasta ahora en la
lección presente, se deduce la existencia de otro
tipo de modos de transmitir ondas algo más
complicadas que las ondas planas o las
transversales electromagnéticas (TEM). Cabe
pues preguntarse si las señales transmitidas a lo
largo de guiaondas se propagarán a la velocidad
de la luz.
- Es también de sobra conocido que las
ondas planas se propagan por el espacio
libre à la velocidad de la luz.
- 3.6 Dispersión
- Desde el punto de vista de la propagación de ondas
podemos definir un medio o sistema dispersivo como
aquel en que la constante de propagación es función no
lineal de la frecuencia.
- .La constante de
propagación es
- función lineal de la frecuencia. La
velocidad de grupo es
- Consideremos ahora una señal propagándose por una
guiaonda en un modo TE o TM. La constante de
propagación es ahora
- El diagrama ? − ? es el representado en la
figura 3.4. Las velocidades de grupo y de fase
vienen dadas por
- Se observa que a medida que aumenta
la frecuencia ambas velocidades tienden
a igualarse a la velocidad de la luz.
- A frecuencias muy por encima de la frecuencia de
corte, una señal de espectro estrecho puede
transmitirse por una guiaonda con muy poca
distorsión.
- Los sistemas de transmisión son medios dispersivos normales
entendiendo por tales aquellos en que la velocidad de grupo es
menor que la de la luz y de la fase mayor que la velocidad de la luz
(?? < ?? < ??).
- Para sistemas con dispersión normal se cumple que ???/??
es negativa y lo contrario sucede para medios dispersivos
anormales.
- Debe quedar bien claro que la velocidad de grupo es la
velocidad de la señal cuando: - El medio dispersivo es normal
- El grupo o paquete de ondas tiene un espectro muy
estrecho.
- En cualquier otro caso será necesario efectuar otros análisis
para encontrar la velocidad correcta a que se propaga una
señal.
- En cualquier otro caso será necesario efectuar otros análisis
para encontrar la velocidad correcta a que se propaga una
señal.
- Debe quedar bien claro que la velocidad de grupo es la
velocidad de la señal cuando: - El medio dispersivo es normal
- El grupo o paquete de ondas tiene un espectro muy
estrecho.
- Para sistemas con dispersión normal se cumple que ???/??
es negativa y lo contrario sucede para medios dispersivos
anormales.
- Los sistemas de transmisión son medios dispersivos normales
entendiendo por tales aquellos en que la velocidad de grupo es
menor que la de la luz y de la fase mayor que la velocidad de la luz
(?? < ?? < ??).
- A frecuencias muy por encima de la frecuencia de
corte, una señal de espectro estrecho puede
transmitirse por una guiaonda con muy poca
distorsión.
- Se observa que a medida que aumenta
la frecuencia ambas velocidades tienden
a igualarse a la velocidad de la luz.
- El diagrama ? − ? es el representado en la
figura 3.4. Las velocidades de grupo y de fase
vienen dadas por
- Consideremos ahora una señal propagándose por una
guiaonda en un modo TE o TM. La constante de
propagación es ahora
- función lineal de la frecuencia. La
velocidad de grupo es
- .La constante de
propagación es
- Desde el punto de vista de la propagación de ondas
podemos definir un medio o sistema dispersivo como
aquel en que la constante de propagación es función no
lineal de la frecuencia.
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