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Description
Mind Map by Ricardo tafur chamarravi, updated more than 1 year ago
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Created by Ricardo tafur chamarravi
over 2 years ago
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Ecuaciones Lineales, Rectas Y Planos -
Julian Caballero
- En las unidades anteriores vimos que el álgebra de vectores y el álgebra de matrices presentan
similitudes. Pudimos observar que las propiedades de la suma (de vectores o de matrices) y del
producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos.
- Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han
definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez
axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u , v y w
en V y todos los escalares α y β reales. Llamamos u + v a la suma de vectores en V , y α v al producto
de un número real α por un vector v ∈ V . 1. u + v ∈ V 2. u + v = v + u 3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 4.
Existe un vector nulo 0 V ∈ V tal que v + 0 V = v 5. Para cada v en V , existe un opuesto ( – v ) ∈ V tal
que v + ( – v ) = 0 V
- SUBESPACIOS VECTORIALES
- Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V . W es un subespacio de V si W es en sí
mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar)
definidas en V .
- Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios Sea W un subconjunto de un
espacio vectorial V ( W ⊆ V ) . W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: a.
0 V está en W . b. Si u y v están en W , entonces u + v está en W . c. Si u está en W y k es un escalar, k u
está en W .
- Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V . W es un subespacio de V si W es en sí
mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar)
definidas en V .
- SUBESPACIOS VECTORIALES
- Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han
definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez
axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u , v y w
en V y todos los escalares α y β reales. Llamamos u + v a la suma de vectores en V , y α v al producto
de un número real α por un vector v ∈ V . 1. u + v ∈ V 2. u + v = v + u 3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 4.
Existe un vector nulo 0 V ∈ V tal que v + 0 V = v 5. Para cada v en V , existe un opuesto ( – v ) ∈ V tal
que v + ( – v ) = 0 V
- Combinación lineal de vectores y espacio generado por un conjunto de vectores
- Es la piedra angular para definir varios otros conceptos
importantes en espacios vectoriales. Es un primer paso para definir a los conjuntos de vectores
generadores y a los conjuntos de vectores linealmente independientes. Una vez que hayamos
desarrollado ambos conceptos, podremos hablar de bases de un espacio vectorial, y con ello hablar
de la dimensión de un espacio vectorial.
- ea un plano en por el origen y una recta de por el origen y con dirección dada por un vector .
Demuestra que la intersección de con es una recta si y sólo si existen dos vectores en tal que su suma
sea .
- Ya que la demostración previa puede resultar un poco confusa, presentamos una versión un poco más
relajada de la idea que se usó. Sea la familia de todos los subespacios de que contienen a .
- Ya que la demostración previa puede resultar un poco confusa, presentamos una versión un poco más
relajada de la idea que se usó. Sea la familia de todos los subespacios de que contienen a .
- ea un plano en por el origen y una recta de por el origen y con dirección dada por un vector .
Demuestra que la intersección de con es una recta si y sólo si existen dos vectores en tal que su suma
sea .
- Es la piedra angular para definir varios otros conceptos
importantes en espacios vectoriales. Es un primer paso para definir a los conjuntos de vectores
generadores y a los conjuntos de vectores linealmente independientes. Una vez que hayamos
desarrollado ambos conceptos, podremos hablar de bases de un espacio vectorial, y con ello hablar
de la dimensión de un espacio vectorial.
- Independencia Lineal de Vectores
- Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser
escrito con una combinación lineal de los restantes, de manera que si la combinación
lineal es igual a cero, entonces cada uno de sus coeficientes es igual a cero
- Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no
son proporcionales. {n} vectores en {R}^{n}} son linealmente independientes si su
determinante es distinto de cero.
- Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta
dirección. {\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}}
- Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta
dirección. {\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}}
- Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no
son proporcionales. {n} vectores en {R}^{n}} son linealmente independientes si su
determinante es distinto de cero.
- Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser
escrito con una combinación lineal de los restantes, de manera que si la combinación
lineal es igual a cero, entonces cada uno de sus coeficientes es igual a cero
- Base Y Dimension de Un Espacio Vectorial
- Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o
subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Sea un E un espacio vectorial y B un
subconjunto de vectores de E se dice que B es una base de E si se verifican las siguientes
condiciones:
- Todos los vectores que forman el conjunto B, son linealmente independientes. Es decir B es
linealmente independiente. 2. Cualquier vector del espacio vectorial puede escribirse como
combinación lineal de los elementos de la base B. Es decir, B es un sistema generador de E.
- Ejemplo En el espacio R 2 el conjunto de vectores B = (1,0), (0,1), es un base puesto que: es un
sistema generador, los vectores son linealmente independientes.
- Ejemplo En el espacio R 2 el conjunto de vectores B = (1,0), (0,1), es un base puesto que: es un
sistema generador, los vectores son linealmente independientes.
- Todos los vectores que forman el conjunto B, son linealmente independientes. Es decir B es
linealmente independiente. 2. Cualquier vector del espacio vectorial puede escribirse como
combinación lineal de los elementos de la base B. Es decir, B es un sistema generador de E.
- Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o
subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Sea un E un espacio vectorial y B un
subconjunto de vectores de E se dice que B es una base de E si se verifican las siguientes
condiciones:
- Rango, Nulidad, Espacio Renglón Y Espacio Columna De Una Matriz
- NA se denomina el espacio nulo de A y í(A) = dim NA se denomina nulidad de A. Si NA contiene sólo
al vector cero, entonces í(A) = 0. Nota. El espacio nulo de una matriz también se conoce como kernel.
Espacio nulo y nulidad de una matriz de 2 X 3
- Una matriz A por s´ı misma puede generar dos espacios vectoriales: el primero se forma por
combinaciones lineales de los renglones, y el segundo al considerar en las combinaciones las columnas.
Dichos espacios se conocen como espacio rengl´on
- Para obtener la dimensi´on del espacio rengl´on basta con escalonar la matriz hasta obtener el
n´umero de renglones linealmente independientes. Dicho n´umero tambi´en es conocido como
rango de la matriz A, denotado como R (A) = dim LR (A) ⇒ dim LC (A).
- Para obtener la dimensi´on del espacio rengl´on basta con escalonar la matriz hasta obtener el
n´umero de renglones linealmente independientes. Dicho n´umero tambi´en es conocido como
rango de la matriz A, denotado como R (A) = dim LR (A) ⇒ dim LC (A).
- Una matriz A por s´ı misma puede generar dos espacios vectoriales: el primero se forma por
combinaciones lineales de los renglones, y el segundo al considerar en las combinaciones las columnas.
Dichos espacios se conocen como espacio rengl´on
- NA se denomina el espacio nulo de A y í(A) = dim NA se denomina nulidad de A. Si NA contiene sólo
al vector cero, entonces í(A) = 0. Nota. El espacio nulo de una matriz también se conoce como kernel.
Espacio nulo y nulidad de una matriz de 2 X 3
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