Matriz

Annotations:

• É um conjunto de linhas e colunas compostas por elementos.
• MxN = A matriz possui M linhas e N colunas
• Duas matrizes são iguais se são da mesma ordem e seus elementos correspondentes são iguais.
• AB ≠ BA (Normalmente); A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA; A x I n = A.
• Ex1: Escrever a matriz A =(aij)2x3 onde aij = i+j. A = (2  3  4)        (3  4  5)

1. Linha

   Annotations:

   • Matriz Linha ocorre quando uma matriz possui apenas uma linha de valores, independente da quantidade de valores.
   • Ex1: A = (1  2  3).
2. Coluna

   Annotations:

   • Matriz  Coluna ocorre quando uma matriz possui apenas uma coluna de valores, independente da quantidade de valores.
   • Ex1: A = (1)                 (2)                 (3)
3. Nula

   Annotations:

   • Quando todos os valores contidos na matriz quadrada ou retangular são 0.
   • Ex1: A = (0  0)                 (0  0)
   • Ex2: A = (0  0  0)                 (0  0  0)
4. Oposta

   Annotations:

   • Para se obter uma matriz oposta, basta trocar os sinais de todos os elementos.
   • Ex1: A = (1  2)  -A = (-1 -2)                 (3  4)          (-3 -8)
   • Ex1: A = (1  2)  -A = (-1 -2)
5. Transposta

   Annotations:

   • É a matriz que obtemos transformando cada linha em coluna e vice-versa.
   • Ex1: A = (1  2)   A^t = (1  3)                 (3  4)             (2  4)
   • Ex2: A = (1  2)   A^t = (1)                                       (2)
   • Ex3: B = (1  2)  B^t = (1  3  5)                 (3  4)            (2  4  6)                 (5  6)
6. Diagonal

   Annotations:

   • Matriz  Diagonal quadrada ocorre quando todos os valores  fora da diagonal são nulos e pelo menos um elemento da diagonal é diferente de 0.
   • São divididas em duas partes, sendo elas: Principal e Secundária.
   1. Principal

      Annotations:

      • São os valores da matriz começando pela primeira posição e descendo diagonalmente através das linhas.
   2. Secundária

      Annotations:

      • São os valores da matriz começando pela ultima posição e descendo diagonalmente através das linhas.
7. Identidade

   Annotations:

   • É uma matriz quadrada onde todos os valores da diagonal principal são iguais e o resto dos números são 0.
   • Ex1: A = (1  0  0)                     (0  1  0)                    (0  0  1)
   • Sendo A uma matriz quadrada, e In uma matriz identidade de mesma ordem, temos:  A x I n = I n x A = A
8. Triângulo Superior

   Annotations:

   • Quando alguns dos valores da matriz são zero formando um triangulo no canto superior esquerdo.
   • Ex1: A = (1  0  0)                     (2  1  0)                    (3  1  4)
9. Triângulo Inferior

   Annotations:

   • Quando alguns dos valores da matriz são zero formando um triangulo no canto inferior esquerdo.
   • Ex1: A = (1  2  3)                 (0  1  2)                 (0  0  4)
10. Inversa

    Annotations:

    • Uma matriz inversa é obtida a partir de uma formula onde o determinante precisa ser diferente de 0. 
    • Após achar o determinante, há dois modos de achar a matriz inversa de ordem 2, sendo elas: Método simples e direto.
    • Método simples: Consiste na multiplicação da matriz por outra com elementos na forma de incógnitas. Após achar o resultado, deve-se aplicar a resolução por sistema linear para se obter as incógnitas que formaram a matriz inversa.
    • Método direto: É dado pela formula: 1/det * |d - b|                  |-c  a|
11. Ortogonal

    Annotations:

    • Uma matriz quadrada é ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa ou quando a matriz vezes sua transposta resulta na identidade. A^t = A^-1 => A^t * A = I
    • Ex1: |3/5 4/5|          |4/5 -3/5|
12. Operação
    1. Soma

       Annotations:

       • Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes.
       • Ex1: A = (1  2)                 (3  4)          B = (5  6)                 (1  2) A + B = (6  8)               (4  6)
       • OBS: Não é possível somar matrizes de ordens diferentes.
    2. Subtração

       Annotations:

       • Sejam A e B matrizes de mesma ordem, para se fazer A - B, basta fazer duas coisa:  - Calcular o oposto de B; - Adicionar A.
       • OBS: Não é possível subtrair matrizes de ordens diferentes.
    3. Igualdade

       Annotations:

       • Igualdade é a operação que consiste na comparação de duas ou mais matrizes.
       • Matrizes serão iguais se e somente se elas possuírem o mesmo número de coluna e linhas. Os elementos dentro das matrizes precisam ser todos correspondentes.
       • Ex1: Seja B(bij)2x3 tal que bij = i² + 2j e C = |x-y  5  x+y|                   |  6   4z  10| A matriz B será igual a matriz C se e somente se x = 5, y = 2 e z = 2.
    4. Multiplicação

       Annotations:

       • Quando um número multiplica uma matriz, basta apenas substituir os elementos pelos elementos multiplicados.
       • Ex1:  A = (1  2) x 2   A*2 = (2  4)                  (3  4)                     (6  8)
       • Para multiplicar duas matrizes de mesma ordem, deve-se multiplicar todas as linhas da primeira matriz, com todas as colunas da segunda.
       • Ex2: A = | 1 2 |  B = | 3 5 |                 | 3 4 |         | 7 9 | A*B = | (1*3+2*7) (1*5+2*9) |            | (3*3+4*7) (3*5+4*9) | A*B = | 17 23 |            | 37 51 |
       • Para multiplicar matrizes de ordem diferente, deve-se observar se a quantidade de colunas da primeira corresponde com a quantidade de linhas da segunda.
       • Ex3:  A 2x3 * B 3x4 = A*B 2x4 C 1x1 * D 4x4 = Não é possível.
    5. Equação

       Annotations:

       • Equações de matrizes serão duas ou mais matrizes compondo uma equação.
       • Ex1: X + A - B = 0 tal que A=|-3 2 5| e B=|-3 2 5| X = |-5 -3 5|
       • Durante a simplificação de uma equação, é valida as seguintes propriedades:
13. Lei de Formação

    Annotations:

    • Lei de formação é a operação que irá determinar os elementos de uma matriz.
    • Ex1: aij = 3i + 2j. OBS: Todos os elementos serão determinados a partir da sua posição na matriz.
14. Ordem

    Annotations:

    • A ordem de uma matriz será a determinação da quantidade de linhas e colunas, onde o primeiro número representa a quantidade de linhas e o segundo o número de colunas.
    • Ordem de uma matriz quadrada, será o número linhas e colunas que formam a matriz quadrada.
    • Ex1: Uma matriz de ordem 4, terá 4 linhas e 4 colunas.
15. Simétrica

    Annotations:

    • Uma matriz será simétrica, quando for igual a sua transposta.
    • Ex1: |5 0| ou seja, A = A^t          |0 1|
    • Ex2: A = |4 1 3|                  |1 5 0|                 |3 0 6|
16. Anti-Simétrica

    Annotations:

    • Uma matriz será anti-simétrica quando a sua matriz transposta for igual a sua matriz oposta.
    • Ex1: A = |0  -2| ou seja, A^t = -A                 |2   0|
    • Ex2: B = |0 -1 2|                 |1 0 -3|                 |-2 3 0|
17. Determinante

    Annotations:

    • Para obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta utilizar a seguinte formula: det A = ad - bc, onde as letras são os elementos. 
    • Ex1:  A = |2 1|        |3 1| det A = 2*1 - 3*1 = -1
18. Determinate

    Annotations:

    • Determinante será o valor obtido a partir de operações em uma matriz quadrada.
    • É obtido pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária.