Aplicación de la derivada al análisis gráfico de funciones

Para la representación gráfica de funciones utilizando la derivada se siguen lo siguientes pasos
1. 1. Determinar el dominio y el rango de la función
2. 2) Calcular los puntos de corte:a) Con el eje x (se hace y = 0)b) Con el eje y (se hace x = 0)
3. 3) Determinar puntos críticos (Xc ) y puntos de discontinuidad (si existen)
  1. Punto Crítico: Un valor c perteneciente al dominio de una función sellama punto critico si f´(c) = 0 ó f´(c) no existe
4. 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
  1. a) Los puntos críticos y los valores donde el dominio de la función esdiscontinua dividen el dominio en intervalos
  2. b) Se examina el signo de f´(x) en cada uno de esos intervalos , tomandocualquier valor de x perteneciente a dicho intervalo (supongamos x=a) ysustituyendo luego en f´(x)
  3. c) Si f´(a) > 0 (la función crece en el intervalo.Si f´(a) < 0 la función decrece en el intervalo
5. 5) Hallar punto(s) máximo(s) y mínimo(s) relativo(s):
  1. Se puede maximizar o minimizarglobal y localmente una funciónrepresentativa de algún contenidoespecífico. Por ejemplo, en lasiguiente gráfica se representan Máximos y Mínimos locales de la función f(x): Donde C1-C3 y C5 son
    1. Minimos de f(x); C2 y C4 son Maximos de f(x)
  2. Según el criterio de la primera derivada:
    1. a) Cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir,cuando f´(x) > 0 pasa f´(x) < 0, entonces en el punto critico (a) seconsidera que hay un máximo relativo. (esto es P(a, f´(a)) es un máximorelativo)
    2. b) Cuando la función pasa de ser decreciente a ser decreciente, es decir,cuando f´(x) <0 pasa f´(x)> 0, entonces en el punto critico (b) seconsidera que hay un mínimo relativo (esto es P(b, f´(b)) es un mínimorelativo )
  3. Según el criterio de la segunda derivada
6. .6) Determinar puntos de inflexión: Son los valores de x en donde lasegunda derivada es igual a cero (f``(x)=0) ò f``(x) no existe y hay uncambio en la concavidad
7. 7) Estudiar la concavidad de la función:Una vez determinados los puntos de inflexión ( si los hay), se debe tenerpresente que estos dividen el dominio de la función en intervalos; se‘procede a estudiar el signo de )f´´(xf en cada intervalo:*Si 0)f´´( >xf entonces f(x) es cóncava hacia arriba.*Si 0)f´´( <xf entonces f(x) es cóncava hacia abajo.
  1. En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tieneque Para estudiar el comportamiento de la curva que representa a la funciónen ciertos intervalos, y en definitiva encontrar máximos y mínimos, debemosrealizar el siguiente procedimiento:Considerando que es una Función Real y Continua
9. 9. Con toda la informacion obtenida en los pasos anteriores, se procede a construir la grafica

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