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Aplicación de la derivada al análisis
gráfico de funciones.
- Para la representación gráfica de funciones utilizando la derivada se siguen lo siguientes pasos
- 1. Determinar el dominio y el rango de la función
- 2) Calcular los puntos de corte:a) Con el eje x (se hace y = 0)b) Con el eje y (se hace x = 0)
- 3) Determinar puntos críticos (Xc ) y puntos de discontinuidad (si existen)
- Punto Crítico: Un valor c perteneciente al dominio de una función sellama punto critico si f´(c) = 0
ó f´(c) no existe
- Punto Crítico: Un valor c perteneciente al dominio de una función sellama punto critico si f´(c) = 0
ó f´(c) no existe
- 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
- a) Los puntos críticos y los valores donde el dominio de la
función esdiscontinua dividen el dominio en intervalos
- b) Se examina el signo de f´(x) en cada uno de esos
intervalos , tomandocualquier valor de x
perteneciente a dicho intervalo (supongamos x=a)
ysustituyendo luego en f´(x)
- c) Si f´(a) > 0 (la función crece en el intervalo.Si f´(a) < 0 la
función decrece en el intervalo
- a) Los puntos críticos y los valores donde el dominio de la
función esdiscontinua dividen el dominio en intervalos
- 5) Hallar punto(s) máximo(s) y mínimo(s) relativo(s):
- Se puede maximizar o minimizarglobal y localmente una
funciónrepresentativa de algún contenidoespecífico. Por
ejemplo, en lasiguiente gráfica se representan Máximos y
Mínimos locales de la función f(x): Donde C1-C3 y C5 son
- Minimos de f(x); C2 y C4 son Maximos de f(x)
- Minimos de f(x); C2 y C4 son Maximos de f(x)
- Según el criterio de la primera derivada:
- a) Cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir,cuando f´(x) > 0 pasa f´(x) <
0, entonces en el punto critico (a) seconsidera que hay un máximo relativo. (esto es P(a, f´(a)) es
un máximorelativo)
- b) Cuando la función pasa de ser decreciente a ser decreciente, es decir,cuando f´(x) <0 pasa f´(x)>
0, entonces en el punto critico (b) seconsidera que hay un mínimo relativo (esto es P(b, f´(b)) es
un mínimorelativo )
- a) Cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir,cuando f´(x) > 0 pasa f´(x) <
0, entonces en el punto critico (a) seconsidera que hay un máximo relativo. (esto es P(a, f´(a)) es
un máximorelativo)
- Según el criterio de la segunda derivada
- Se puede maximizar o minimizarglobal y localmente una
funciónrepresentativa de algún contenidoespecífico. Por
ejemplo, en lasiguiente gráfica se representan Máximos y
Mínimos locales de la función f(x): Donde C1-C3 y C5 son
- .6) Determinar puntos de inflexión: Son los valores de x en donde
lasegunda derivada es igual a cero (f``(x)=0) ò f``(x) no existe y hay uncambio
en la concavidad
- 7) Estudiar la concavidad de la función:Una vez determinados los
puntos de inflexión ( si los hay), se debe tenerpresente que estos
dividen el dominio de la función en intervalos; se‘procede a
estudiar el signo de )f´´(xf en cada intervalo:*Si 0)f´´( >xf entonces
f(x) es cóncava hacia arriba.*Si 0)f´´( <xf entonces f(x) es cóncava
hacia abajo.
- En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º )
se tieneque Para estudiar el comportamiento de la curva que
representa a la funciónen ciertos intervalos, y en definitiva
encontrar máximos y mínimos, debemosrealizar el siguiente
procedimiento:Considerando que es una Función Real y
Continua
- En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º )
se tieneque Para estudiar el comportamiento de la curva que
representa a la funciónen ciertos intervalos, y en definitiva
encontrar máximos y mínimos, debemosrealizar el siguiente
procedimiento:Considerando que es una Función Real y
Continua
- 9. Con toda la informacion obtenida en los pasos
anteriores, se procede a construir la grafica
- 1. Determinar el dominio y el rango de la función
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