Espacio Vectorial

Espacio Vectorial

1. Definición

   • Es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.
     • suma para los elementos del conjunto = Operación Interna
     • producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático = Operación externa
     • A los elementos del cuerpo se les denomina escalares.
     • A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores.

2. Propiedades

   • Propiedades de la suma de vectores
     • Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
     • Conmutativa: v+u=u+v
     • Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que 0 + v = v para cualquier vector v.
     • Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .
   • Propiedades del producto de un vector por un escalar.
     • Asociativa: β (α v) = ( β α ) v
     • Distributiva
       • Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v
       • Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v
     • Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.

3. Ejemplos

   • Matrices 2x2
   • Polinomios 1er°, 2do° y 3er°
   • Vectores R^3
   • Matrices 3x3
   • Vectore R^2

4. Subespacio Vectorial

   • Sea V un espacio vectorial y sea U un subconjunto no vacío de V . Decimos que U es un subespacio vectorial de V si U es en s´ı mismo un espacio vectorial con las operaciones inducidas de V . Lo denotaremos como U ≤ V .
     • pueden describirse de dos formas
       • Implicita
         • Mediante ecuaciones. Los vectores que verifiquen las ecuaciones son los que pertenecen al subespacio.
       • Parametrica
         • Mediante una expresión con parámetros, los cuales al tomar distintos valores producen todos los vectores del subespacio.
     • Ejemplos
       • La recta x=y es un subespacio de R^2
       • El plano XY es un subespacio de R^2