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Mind Map by carlos soto, updated more than 1 year ago
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Metodo de Eliminacion Gauss - Jordan
- QUE ES ?
- En matematicas, la eliminacion de Gauss -
Jordan, llamda asi debido a Carl Friedrich
Gauss y Willhelm Jordan, es un algoritmo de
algebra lineal para determinar las soluciones
de un sistema de ecuaciones lineales, tambie
para encontrar matrices diversas. Un sistema
de ecuaciones se resuelve por el metodo de
Gauss cuando se obtienen soluciones
mediante la reduccion del sistema dado a otro
equivalente en el que cada ecuacion tiene una
incognita menos que la anterior
- ANTECEDENTES El metodo de eliminacion de Gauss
Jordan aparace en el capitulo ocho del imporntante
texto matematico chino Jiuzhang suanshu o los nueve
capitulos sobre el arte matematico. Su uso se ilustra
en dieciocho problemas, con dedos a cinco
ecuaciones. La primera referencia al libro por este
titulos date del 179 D.C., pero algunas de sus partes
fueron escritas tan pronto como alrededor del 150 a.
C.
- EL ANALISIS DE SU COMPLEJIDAD La complejidad
computacional de la eliminacion Guassiana es de
aproximadamente N a la 3 Lo que significa el
numero de operaciones que se necestian en el caso
de que la matriz sea de n x n.
- En matematicas, la eliminacion de Gauss -
Jordan, llamda asi debido a Carl Friedrich
Gauss y Willhelm Jordan, es un algoritmo de
algebra lineal para determinar las soluciones
de un sistema de ecuaciones lineales, tambie
para encontrar matrices diversas. Un sistema
de ecuaciones se resuelve por el metodo de
Gauss cuando se obtienen soluciones
mediante la reduccion del sistema dado a otro
equivalente en el que cada ecuacion tiene una
incognita menos que la anterior
- EJEMPLOS
- ALGORITMO DE ELIMINACION: 1. Ir a la columna no cero
extrema izquierda, 2. Si la primera fila tiene un cero en esta
columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga, 3. Luego
obtener cerso debajo de este elemento delantero, sumando
multiplos adeacuados del renglon superior a los renglones
debajo de el, 4. Cubrir el renglon superior y repetir con el
resto de los renglones, 5. Comenzando con el ultimo renglon
no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglon obtener un
1 delantero e introducir cerors arriba de este sumando
multiplos correspondientes a los renglones
correspondientes
- Supongamos que es necesario encontrar los numeros X Y Z que satisfacen
simultaneamente, entonces esto es llamado "sistemas lineales de
ecuaciones" . Debemos saber que el objetivo es el de reducir el sistema a
otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Entonces las
operaciones son:
- ALGORITMO DE ELIMINACION: 1. Ir a la columna no cero
extrema izquierda, 2. Si la primera fila tiene un cero en esta
columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga, 3. Luego
obtener cerso debajo de este elemento delantero, sumando
multiplos adeacuados del renglon superior a los renglones
debajo de el, 4. Cubrir el renglon superior y repetir con el
resto de los renglones, 5. Comenzando con el ultimo renglon
no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglon obtener un
1 delantero e introducir cerors arriba de este sumando
multiplos correspondientes a los renglones
correspondientes
- OTRAS FORMAS
- Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede
tener las siguientes propiedades: 1. Todas las filas 1 estan enla parte inferior de la matriz, 2. El
elemento delantero de cada fila diferente de cero, este es llamado "PIVOTE", estos estan a la
derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de
un pivote son cero); si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además,
cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de
renglón escalón o tan solo. Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones
como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que
nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación
de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=5).
Así la matriz
- Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede
tener las siguientes propiedades: 1. Todas las filas 1 estan enla parte inferior de la matriz, 2. El
elemento delantero de cada fila diferente de cero, este es llamado "PIVOTE", estos estan a la
derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de
un pivote son cero); si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además,
cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de
renglón escalón o tan solo. Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones
como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que
nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación
de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=5).
Así la matriz
- OTRAS APLICACIONES DEL
METODO
- Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta
la matriz dada, digamos A con una matriz identidad, simplemente escribiendo las filas de la identidad a
continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:
- Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta
la matriz dada, digamos A con una matriz identidad, simplemente escribiendo las filas de la identidad a
continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:
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