SEZIONE AUREA: storia di un numero e di un mistero che dura da 3000 anni

“La geometria ha due grandi tesori uno è il teorema di Pitagora; l’altro la divisione di un segmento in media ed estrema ragione. Possiamo paragonare il primo ad una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa.” “Sono convinto che questa proporzione servì da idea al Creatore, quando Egli introdusse la generazione continua di forme simili da forme simili tra loro." Keplero (1571-1630)
TRIANGOLI SÌ, MA QUANTI? Luca dice: in questo pentagono vedo 10 triangoli. Bianca le risponde: io, ne vedo molti di più! Quanti triangoli si possono vedere in tutto in questa figura?
ORNAMENTO GRECO: Le strisce scure e chiare hanno tutte la stessa larghezza. Maya ripasserà in nero le zone scure e di giallo quelle chiare. Secondo voi Maya utilizzerà' più' pittura gialla o nera?
RETTANGOLO DI FIBONACCI: Alex afferma che se conosce il perimetro del rettangolo aureo, ad esempio 130 cm, può calcolare la sua area.
1. Francesco sostiene che può calcolare il perimetro del rettangolo a partire dalla sua area e da' un esempio con un'area di 1440 cm2. Qual e' l'area calcolata da Alex e qual e' il perimetro ottenuto da Francesco?
  1. SPIRALE: Leonardo ha disegnato un quarto di circonferenza all’interno di ciascuno dei primi sette quadrati. Il perimetro del rettangolo misura136 cm. Qual è la lunghezza della spirale da A a B? Scrivete la misura con l’aiuto di PI o con un’approssimazione al millimetro.
Nei regni dalla vita domina sopratutto la spirale aurea che è presente nella forma di molte conchiglie. L’esempio più bello è il NAUTILUS un grosso mollusco dei mari tropicali, considerato un fossile vivente essendo la sua specie antichissima, la cui conchiglia ha la struttura di una perfetta spirale aurea che gli permette uno sviluppo armonico della sua forma in maniera ottimale e meno dispendioso possibile.
1. I FRATTALI • I frattali sono oggetti geometrici che replicano la propria struttura in modo invariato su scale diverse , e dunque l’ingrandimento o la riduzione del modello non producono alcuna modificazione nella struttura presente. Un ottimo esempio di frattale sono il fiocco di neve e la felce: ogni parte di una foglia di felce riproduce la struttura dell’intera felce.
2. La disposizione dei petali e dei semi in alcuni tipi di fiori spesso presenta schemi riconducibili alla spirale aurea come nel caso del girasole dove stami e corolle si succedono secondo gli schemi di due spirali, una in un senso ed una in un altro. Lo stesso avviene per l’ananas o per le pigne.
  1. Uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea in natura è rappresentato dagli studi sulla disposizione geometrica delle foglie e dei rami detta FILLOTASSI. Osservando alcune piante si è scoperto che le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale vegetativa, in cui l'angolo tra due foglie successive è pressoché costante ed è di circa 137°. Tale angolo, detto aureo, (Φ in rapporto con l’angolo giro) garantisce alle foglie di ricevere la luce del sole senza coprirsi l’una con l’altra.
    1. Negli ultimi anni è emerso come anche il Sistema Solare mostri caratteri riconducibili alla serie di Fibonacci. Si è osservato che tutti i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione (Mercurio 1, Venere 2, Terra 3, Marte 5) mentre quelli esterni disterebbero allo stesso modo rispetto a Giove: (Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5) Anche grazie a questa coincidenza gli astronomi previdero l'esistenza di Nettuno.
      1. Da osservazioni sperimentali si è riscontrato che molte Galassie presentano bracci luminosi di formazione stellare che si estendono dal centro seguendo il tracciato di due spirali auree, lo stesso avviene nella coda delle comete o nella formazione degli uragani.
        Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto dalla serie Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate del 1998.
        I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione degli algoritmi.
        Per quanto riguarda alcune forme di uso corrente, le carte di credito e in generale i tesserini plastificati in formato "badge" (86x54mm) sono ottime approssimazioni di rettangoli aurei. L'arrotondamento per difetto al millimetro pari è stato fissato per facilitarne la produzione standardizzata, sebbene la misura più perfetta sarebbe stata 87,37x54 oppure 86x53,15.
        Il numero aureo è una delle costanti matematiche predilette dalla natura e, insieme alla successione di Fibonacci, regola l’armonia del mondo che ci circonda. Sarà successo a tutti, spero, di rimanere incantati davanti alla bellezza di una rosa, o affascinati da un girasole. Il fascino della natura è frutto della proporzione intrinseca ad essa. Infatti la natura, seppure imperfetta, tende alla perfezione matematica. Ma perché proprio Φ? Questo per il fatto che i sistemi complessi si evolvono secondo il “principio di minima energia”, cercando di raggiungere l’equilibrio. E sembra che il numero aureo, in diversi ambiti della natura, permette questo. In particolare, esso è presente in molti esseri viventi, uomo compreso, ma anche nei vegetali, e contribuisce a creare l’armonia del mondo che ci circonda, dove il caos è solo un’apparenza, e tutto tende alla perfezione secondo principi matematici. Ecco alcuni esempi:
Il rapporto più antico usato per proporzionare gli oggetti è la Sezione Aurea o costante di Fidia, indicata con la lettera greca Φ (Phi) = 1,618…, la incontriamo ovunque e contribuisce non solo alla bellezza di tutto ciò che ci circonda ma sopratutto al suo perfetto funzionare.
1. E questo numero Φ l'uomo lo ha inserito talvolta consapevolmente, talvolta probabilmente no in alcune delle sue opere più straordinarie, dal Partenone di Atene alla piramide di Cheope nella piana di Giza, tanto da diventare l’espressione matematica per eccellenza dell’armonia e della bellezza.
La sezione aurea è stata definita così solo nel 1800, durante il rinascimento un largo contributo alla sua conoscenza e divulgazione è stato dato dal matematico Luca Pacioli (1445-1514) con la pubblicazione del trattato "De Divina Proportione" illustrato con disegni di Leonardo da Vinci (1452-1519), ma la sua storia ha avuto origine nella Grecia classica attorno al VI secolo a.C ad opera della scuola pitagorica in una località dell’Italia meridionale dove oggi rimane in piedi soltanto una colonna dell'imponente tempio dedicato alla dea"Hera Lacinia".
1. Ne L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De architectura di Vitruvio (80 a.C.–23 a.C.) che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.
Gli antichi greci usavano questa proporzione per ottenere un'immagine estetica inserendola in particolar modo nel rettangolo: il rapporto fra il lato lungo a e il lato corto b deve essere uguale a Φ =1,618…: a / b = Φ
1. Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi "rigenerare" infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno una successione infinita di quadrati sempre più piccoli con fattore Φ di rimpicciolimento. Dall'unione di un'infinità di quarti di circonferenza tracciati sui quadrati si forma una spirale infinita che converge verso un punto di fuga che non raggiungerà mai denominato "l'occhio di Dio".
  1. Detta anche spirale di Fibonacci (1170 - 1250) a cui è strettamente legata, infatti se esaminiamo la famosa successione che porta il suo nome dove ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti: (0+1=1),(1+1=2),(1+2=3),(2+3=5),(3+5=8)... successione di Fibonacci 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … notiamo che il rapporto tra un numero della serie e il precedente tende ad assumere il valore costante Φ = 1,618…:
    1. Solo successivamente si scoprì come la serie numerica, nata con l'intento di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli, fosse intimamente legata alla sezione aurea.
La definizione di rapporto aureo ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nel pentagono che riproduce Φ cinque volte e nella stella a cinque punte che riproduce Φ quindici volte, dove i pitagorici scorsero il rapporto fra la diagonale a e il lato b del pentagono e fra il lato della punta stellata a e il lato b del pentagono interno. I pitagorici adottarono come loro simbolo la stella a cinque punte, ciò può spiegare come il rapporto aureo potesse apparire ai loro occhi tanto affascinante, pur ignorandone ancora gran parte delle proprietà matematiche, e giustificando in parte l’alone di mistero che lo ha avvolto dalla sua scoperta fino ai nostri giorni.

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