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Description
Mind Map by JOSÉ ALEJANDRO RODRíGUEZ R., updated more than 1 year ago
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Created by JOSÉ ALEJANDRO RODRíGUEZ R.
over 2 years ago
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Modelos continuos de crecimiento: Del
modelo exponencial al modelo logístico.
- Modelo de Malthus
- Está basado en una EDO:
- Ampliamente utilizada en las matemáticas
universitarias y economía.
- Como su EDO es de primer orden lineal
homogénea (con coeficientes constantes), su
formulación es dada por medio de un
problema de valor inicial PVI.
- La EDO indica que la variación
instantánea de la población en el
instante t , dada por p'(t) , es
directamente proporcional
(siendo α la constante
proporcionalidad) a la población
p(t) que hay en ese momento.
- La idea básica de esta propuesta
de modelización es que, cuanto mayor es el
número de individuos, i.e., mayor es p(t) ,
mayor es la variación (dada por p'(t) ) que
puede sufrir la población.
- Esta afirmación
requiere de diversos
factores;
- Como primera instancia, la
variación poblacional puede
ser creciente o decreciente,
esto dependerá de la
diferencia entre el número de
individuos que nacen y
mueren.
- Si aislamos α, se
entenderá el rol que
desempeña en el
modelo, así como la
denominación
anterior de
constante de
crecimiento relativo.
- Observe que α = p'(t) / p(t). Como el
denominador de la fracción siempre es positivo
(por representar una población), el signo de α
está determinado por el signo de p'(t):
- Al considerarse un instante arbitrario "t" y un intervalo de longitud Δt; se
determina como [t,t+Δt], al denotarse por "p" queda p(t+Δt), y Δp(t)=p(t+Δt)-p(t).
- La función se aplica como si fueran masas,
esto considerando las variaciones como la
emigración y inmigración.
- También es aplicable para las tasas de nacimiento, ya que tienen lugar en el intervalo [t,t+Δt].
Esta relación contiene el signo "α", pudiendo ser positivo.
- Cálculo del modelo para la
solución p(t):
- Se distinguen varios casos, todo en función de "α" :
- Si α > 0; esto será p(t) > 0, lo que nos
representa que p(t) es la población teniendo
un crecimiento rápido o convexo.
- Si α < 0, esto se vería como p(t) < 0, lo que nos indica que
lógicamente es decreciente; y que cuando la tasa es ">"
aumenta y "<" disminuye.
- Para calcular la solución de p(t), y estudiar a partir de esta; será
necesario tomar una serie de coeficientes dados por la primera ecuación;
lo que permite hallar la ecuación:
- Esto ayuda a obtener la
dinámica del tipo de interés:
- Al completar la ecuación, se hace visible; además, además de que corrobora las
conclusiones que se hayan recolectado anteriormente.
- Al deducir la cuarta ecuación, se muestra que;
- Cuando "α ≠ 0"; la población crecerá de manera
exponencial; por lo tanto, si α < 0, en un gran
largo plazo, se ocasionará una extinción total.
- En la figura 2, se expresa gráficamente el comportamiento de la solución para valores específicos
- En la figura 2, se expresa gráficamente el comportamiento de la solución para valores específicos
- Si "α = 0"; se notará en la ecuación como si
la población entrara a un estado de
equilibrio, siendo el valor de p(t) inicial.
- En la figura 2, se expresa gráficamente el comportamiento de la solución para valores específicos de los parámetros:
- Aplicación del modelo:
Calibración de parámetros.
- En este apartado se aplicará el modelo de crecimiento exponencial para modelizar el
Índice de Precios al Consumo (IPC) durante un cierto período.
- Los datos han sido extraídos del Instituto Nacional
de Estadística (INE) y corresponden al período
febrero de 2010 hasta enero de 2011 con base 2011.
- Se busca determinar los valores de los parámetros, por lo que se procede a reducir la
calibración de "α". El objetivo es determinar α ≠ 0 de modo que p(t) se ajuste lo mejor posible.
- Se comienza con la primera fecha: p0=106.484, sin perdidas; por lo que "t" corresponde a 0.
Para "ajustarla lo mejor posible", se hace uso de la tercera ecuación, aplicando una de las diferencias de
cuadrados, por lo que se puede observar p1, 0 ≤ i ≤ 11.
- Esto se utiliza para cada uno de los 12 valores
mensuales de IPC dados en la tabla; por lo tanto i =
0 es el mes de febrero, i = 1 corresponde a marzo, y
sucesivamente hasta i = 11 que es enero 2011.
- Debido a que el valor de i = 0 es nulo, el valor p(t)
en t0 dado en la primera ecuación, coincide con el
primer valor del IPC, estaría expresado como:
- Empleando técnicas apropiadas de optimización numérica de funciones, podemos
calcular el valor del parámetro α que minimiza la función de error e(α) dada en la
séptima ecuación.
- Este tipo de técnicas están en diferentes
programas. Utilizando el comando NMinimize
del software Mathematica®, el valor que se
obtiene es: αˆ= 0.0446935, el cual proporciona
el siguiente valor del error: e(αˆ) = 4.24488 .E
- Por lo tanto, y de acuerdo al modelo y a su
ajuste a los datos, la cuarta ecuación indica la
fórmula de ajuste buscada.
- Con la octava ecuación, se pueden hacer predicciones
del costo de un producto en cualquier año solicitado:
- Introduciendo la migración en el modelo.
- Asumiendo que las inmigraciones y emigraciones son constantes, denotándolas con "e" y con
"i", nos conduce a la relación en la décima ecuación, y se puede observar la diferencia respecto
al análisis hecho en la segunda ecuación.
- Es conveniente destacar (con respecto al análisis realizado en la segunda
ecuación), que los movimientos migratorios de emigración se asumen
proporcionales a la población p(t) existente en el instante t , mientras que
los flujos de inmigración son independientes.
- Del modelo exponencial de Malthus, al
modelo logístico de Verhuls:
- Anteriormente se hablaba que α, cuando era positivo,
presentaba un crecimiento ilimitado. Esto no es verosímil,
puesto que ninguna población puede crecer de manera
ilimitada.
- El comportamiento grafico de esta ecuación sería asintótico e incondicionalmente estable.
- ¡FIN DEL MAPA MENTAL!
- ¡FIN DEL MAPA MENTAL!
- El comportamiento grafico de esta ecuación sería asintótico e incondicionalmente estable.
- El matemático belga Pierre François
Verhulst, años después de Malthus,
introduciría un término de "freno no lineal"
−γ(p(t))^2, siendo γ>0, y probó que el
nuevo modelo explicaba
excelentemente la evolución de
numerosas poblaciones;
además de que no se extinguía a largo plazo.
- Anteriormente se hablaba que α, cuando era positivo,
presentaba un crecimiento ilimitado. Esto no es verosímil,
puesto que ninguna población puede crecer de manera
ilimitada.
- La solución del modelo exponencial con migración se realiza de nuevo identificando los coeficientes del
modelo obtenido: p'(t) = αp(t) +β , con los del modelo general dado en la tercera ecuación; a = α y b = β .
- Del modelo exponencial de Malthus, al
modelo logístico de Verhuls:
- Es conveniente destacar (con respecto al análisis realizado en la segunda
ecuación), que los movimientos migratorios de emigración se asumen
proporcionales a la población p(t) existente en el instante t , mientras que
los flujos de inmigración son independientes.
- Asumiendo que las inmigraciones y emigraciones son constantes, denotándolas con "e" y con
"i", nos conduce a la relación en la décima ecuación, y se puede observar la diferencia respecto
al análisis hecho en la segunda ecuación.
- Introduciendo la migración en el modelo.
- Con la octava ecuación, se pueden hacer predicciones
del costo de un producto en cualquier año solicitado:
- Por lo tanto, y de acuerdo al modelo y a su
ajuste a los datos, la cuarta ecuación indica la
fórmula de ajuste buscada.
- Por lo tanto, y de acuerdo al modelo y
a su ajuste a los datos, la cuarta
ecuación indica la fórmula de ajuste
buscada.
- Este tipo de técnicas están en diferentes
programas. Utilizando el comando NMinimize
del software Mathematica®, el valor que se
obtiene es: αˆ= 0.0446935, el cual proporciona
el siguiente valor del error: e(αˆ) = 4.24488 .E
- Empleando técnicas apropiadas de optimización numérica de funciones, podemos
calcular el valor del parámetro α que minimiza la función de error e(α) dada en la
séptima ecuación.
- Debido a que el valor de i = 0 es nulo, el valor p(t)
en t0 dado en la primera ecuación, coincide con el
primer valor del IPC, estaría expresado como:
- Esto se utiliza para cada uno de los 12 valores
mensuales de IPC dados en la tabla; por lo tanto i =
0 es el mes de febrero, i = 1 corresponde a marzo, y
sucesivamente hasta i = 11 que es enero 2011.
- Se comienza con la primera fecha: p0=106.484, sin perdidas; por lo que "t" corresponde a 0.
Para "ajustarla lo mejor posible", se hace uso de la tercera ecuación, aplicando una de las diferencias de
cuadrados, por lo que se puede observar p1, 0 ≤ i ≤ 11.
- Los datos han sido extraídos del Instituto Nacional
de Estadística (INE) y corresponden al período
febrero de 2010 hasta enero de 2011 con base 2011.
- En este apartado se aplicará el modelo de crecimiento exponencial para modelizar el
Índice de Precios al Consumo (IPC) durante un cierto período.
- Aplicación del modelo:
Calibración de parámetros.
- En la figura 2, se expresa gráficamente el comportamiento de la solución para valores específicos de los parámetros:
- Cuando "α ≠ 0"; la población crecerá de manera
exponencial; por lo tanto, si α < 0, en un gran
largo plazo, se ocasionará una extinción total.
- Al deducir la cuarta ecuación, se muestra que;
- Al completar la ecuación, se hace visible; además, además de que corrobora las
conclusiones que se hayan recolectado anteriormente.
- Esto ayuda a obtener la
dinámica del tipo de interés:
- Para calcular la solución de p(t), y estudiar a partir de esta; será
necesario tomar una serie de coeficientes dados por la primera ecuación;
lo que permite hallar la ecuación:
- Si α > 0; esto será p(t) > 0, lo que nos
representa que p(t) es la población teniendo
un crecimiento rápido o convexo.
- Se distinguen varios casos, todo en función de "α" :
- Cálculo del modelo para la
solución p(t):
- También es aplicable para las tasas de nacimiento, ya que tienen lugar en el intervalo [t,t+Δt].
Esta relación contiene el signo "α", pudiendo ser positivo.
- La función se aplica como si fueran masas,
esto considerando las variaciones como la
emigración y inmigración.
- Observe que α = p'(t) / p(t). Como el
denominador de la fracción siempre es positivo
(por representar una población), el signo de α
está determinado por el signo de p'(t):
- La constante α , que
puede ser tanto
positiva como
negativa, determina el
crecimiento o
decrecimiento
poblacional.
- Gráfico: Pirámides de población. Colombia,
1970, 2000 y 2020. Fuente: Elaboración GES,
con base en información de
https://www.populationpyramid.net/colombia
- Si aislamos α, se
entenderá el rol que
desempeña en el
modelo, así como la
denominación
anterior de
constante de
crecimiento relativo.
- Como primera instancia, la
variación poblacional puede
ser creciente o decreciente,
esto dependerá de la
diferencia entre el número de
individuos que nacen y
mueren.
- Esta afirmación
requiere de diversos
factores;
- La idea básica de esta propuesta
de modelización es que, cuanto mayor es el
número de individuos, i.e., mayor es p(t) ,
mayor es la variación (dada por p'(t) ) que
puede sufrir la población.
- La EDO indica que la variación
instantánea de la población en el
instante t , dada por p'(t) , es
directamente proporcional
(siendo α la constante
proporcionalidad) a la población
p(t) que hay en ese momento.
- Ampliamente utilizada en las matemáticas
universitarias y economía.
- Se conoce mayormente por su uso para
establecer el balance de flujo de las
poblaciones determinantes que generan
variaciones en la población.
- Gráfica: Flujo de
migración
poblacional
internacional.
- Gráfica: Flujo de
migración
poblacional
internacional.
- Propuesto por el economista y
demógrafo Thomas R. Malthus
en el siglo XIX.
- Está basado en una EDO:
- Universidad ECCI. Asignatura: Cálculo Diferencial (2BMS).
Docente: Diana Poveda. Fecha de entrega: /Agosto/2022.
- Integrantes del grupo: José Alejandro Rodríguez Rozo
(Cód:118348). Cristian Camilo Rozo Callejas (Cód:122062).
William Fernando Romero Morales (Cód:120318). Sebastian
Rodríguez (Cód:000000). Mayra Alejandra Murillo Gavidia
(Cód:000000). Julián Esteban Ñungo Palacios (Cód:000000).
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