Estatística

1. Inferência estatística
   1. Estimação de parâmetro
      1. Por ponto

         Anotações:

         • Na estimação por ponto, a estimativa do parâmetro populacional corresponde a um único valor estimado. 
         1. Estimação desvio-padrão

            Anotações:

            • Embora S 2 , conforme definido em (11), seja um estimador justo da variância populacional σ 2 , sua raiz quadrada S não é um estimador justo do desvio padrão populacional σσσ 
      2. Por intervalo

         Anotações:

         •  Na segunda técnica, constrói-se um intervalo, o qual deverá, com probabilidade conhecida, conter o parâmetro. Neste curso admitiremos, salvo menção em contrário, que a amostragem sempre será aleatória. 
         1. Intervalo de confiança

            Anotações:

            • A quantidade aleatória é o intervalo [L, U]; o parâmetro θθθ não é considerado aleatório, pois é um valor fixo. 
      3. Estimador e estimativa

         Anotações:

         • Um estimador(ou estatística) é qualquer função das observações de uma amostra, que será usado no processo de estimação do parâmetro populacional desejado. Chamamos de estimativa um particular valor assumido por um estimador
         1. Propriedades
            1. Justo

               Anotações:

               • Um estimador Θˆ é justo(ou não viesado, ou não viciado, ou não tendencioso) se o seu valor esperado (ou média) for igual ao valor do parâmetro θque se pretende estimar, isto é, se (1) . ˆ ) ( θ Θ= E Um estimador não viesado é aquele que, na média, acerta o valor   correto do parâmetro populacional. 
            2. Eficiência
               1. Acurácia (individual)

                  Anotações:

                  • A acuráciade um estimador mede a proximidade de cada observação do valor alvo que se procura atingir
               2. Precisão (com a média)

                  Anotações:

                  • A precisãode um estimador mede a proximidade de cada observação da média de todas as observações.
               3. Eficiente (ENTVM)

                  Anotações:

                  • Um estimador é dito EFICIENTE ou Estimador Não Tendencioso de Variância Mínima(ENTVM) (*), se • for não viesado; • entre os estimadores não viesados, apresentar a menor variância
               4. Comparação (EQM)

                  Anotações:

                  • Define-se o EQMcomo a média da diferença quadrática (diferença ao quadrado)entre o estimador e o valor do parâmetro EQM = Variância + Viés² EQM de Estimador Não Viesado = Variância
               5. MELVN

                  Anotações:

                  • Uma terceira propriedade desejável de um estimador é que ele seja o Melhor Estimador Linear Não Viesado(MELNV). Para tal, o estimador tem que: • ser não viesado; • ser linear; e • entre os estimadores lineares e não viesados, apresentar a menor variância. 
            3. Consistência

               Anotações:

               • Um estimador é consistente, se, à medida que a amostra cresce, converge para o verdadeiro valor do parâmetro. Ou seja, quando o tamanho da amostra vai aumentando, o viés (se existir) vai diminuindo e a variância também. Um estimador consistente é aquele que converge para o valor do parâmetro quando o tamanho da amostra tende a infinito. Se o estimador for justo, a condição de consistência equivale a dizer que sua variância tende a zero quando o tamanho da amostra tende a infinito
         2. Máxima Verossimilhança
            1. Propriedades:

               Anotações:

               • Sendo assim, (i) e (ii) estabelecem que o estimador de máxima verossimilhança é aproximadamente um ENTVM. Esse é um resultado desejável. Além disso, ele é razoavelmente fácil de se obter em muitas situações e possui distribuição assintótica normal. Isso explica porque o método de máxima verossimilhança é largamente utilizado na prática. Para usar a estimação de máxima verossimilhança, observe que a distribuição da população deve ser conhecida (ou suposta). 
               1. 1. Consistência;
               2. 2. Distribuição assintótica (*) normal.
   2. Testes de hipóteses
2. Probabilística

   Anotações:

   • A amostragem será probabilística (ou aleatória ou casual) se todos os elementos da população tiverem probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. A sua importância decorre do fato de que apenas os resultados provenientes de uma amostra probabilística podem ser generalizados estatisticamente para a população da pesquisa. A obtenção de uma amostra probabilística exige que se obtenha uma listagem com os elementos da população. Ou seja, exige que a população acessível seja igual à população alvo. Nem sempre é possível obter tal listagem na prática, o que teoricamente inviabilizaria a retirada de uma amostra aleatória. Então deve-se recorrer à amostragem não probabilística.
   1. Não probabilística.
      1. Conveniência(acidental)

         Anotações:

         • porConveniência(acidental): o pesquisador seleciona membros da população mais acessíveis;
      2. Intencional(Julgamento)
      3. Cotas (proporcional)

         Anotações:

         • por Cotas(proporcional): o pesquisador entrevista um número pré-definido de pessoas em cada uma das várias categorias.
3. Vício de amostragem

   Anotações:

   • Uma amostra não representativa é uma amostra viciadae o vício inerente aos dados dessa amostra é o vício de amostragem.
4. Tipos
   1. 1 Amostragem Aleatória Simples

      Anotações:

      • A AAS é equivalente a um sorteio lotérico. Nela, todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à amostra, e todas as possíveis amostras têm também igual probabilidade de ocorrer
      1. Ex.: Sorteio lotérico
   2. 2 Amostragem Estratificada

      Anotações:

      • A Amostragem Estratificada (AE)é usada quando a população pode ser  dividida em sub-populações ou estratos razoavelmente homogêneos (ex.: departamento, local, idade, tipo de indústria etc.), de forma que cada elemento da população pertença a um e somente um estrato. Depois que os estratos são formados, extrai-se uma amostra aleatória simples de cada um deles. Os melhores resultados são obtidos quando os elementos contidos em cada estrato são o mais similares possível. Há fórmulas disponíveis para se combinar os resultados das amostras de estrato individuais em uma estimativa do parâmetro populacional de interesse. Se os estratos forem homogêneos, o procedimento de amostragem estratificada produzirá resultados tão precisos quanto os da amostragem aleatória simples, mas utilizando um tamanho total de amostra menor.  Por exemplo, considere que a população de uma universidade tenha a seguinte composição: 10% de professores, 15% de funcionários e 75% de alunos. Então uma amostra estratificada proporcional teria 10% de professores, 15% de funcionários e 75% de alunos.
      1. Divisão em subpopulações semelhantes
   3. 3 Amostragem por Conglomerados

      Anotações:

      • 1.1.3 Amostragem por Conglomerados Na Amostragem por Conglomerados (AC), a população é dividida em subpopulações (conglomerados) distintas (quarteirões, residências, famílias, bairros, etc.). Cada elemento da população pertence a um e somente a um conglomerado. Algunsdos conglomerados são selecionados segundo a AAS e todosos indivíduos nos conglomerados selecionados são observados. Ou seja, as unidades de amostragem, sobre as quais é feito o sorteio, passam a ser os conglomerados e não mais os elementos individuais da população. A AC tende a produzir os melhores resultados quando os elementos neles contidos não são similares. No caso ideal, cada conglomerado é uma versão representativa em pequena escala da população inteira. O valor da AC depende de quão representativo é cada conglomerado da população inteira. Se todos os conglomerados forem similares nesse aspecto, a amostragem de um pequeno número de conglomerados produzirá boas estimativas dos parâmetros populacionais.
      1. Divisão em bairros. Selecionar número suficiente de conglomerados de forma que constituam uma amostra
   4. 4 Amostragem Sistemática – AS

      Anotações:

      • 1.1.4 Amostragem Sistemática – AS Os elementos da população apresentam-se ordenados e são retirados periodicamente (de cada k elementos, um é escolhido). Ocorre, por exemplo, no caso da aplicação experimental de uma nova droga em pacientes, quando a ética obriga que haja concordância dos escolhidos.
      1. Elementos ordenados escolhidos de forma sistemática
5. Teorema Central do Limite

   Anotações:

   • TCL:a soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes tem uma distribuição que é aproximadamente normal. 
6. Introduzir texto aqui

1. Distribuição Amostral da Média

   Anotações:

   • Vemos, portanto, que a média em torno da qual devem variar os possíveis valores da estatística X é a própria média da população. Além disso, a variância com que se dispersam os possíveis valores da estatística X é nvezes menor do que a variância da populaçãode onde é retirada a amostra.
   1. E(X_) = mi
      1. Var(X_) = (Sigma^2)/n
         1. DP(X_) = sigma/raiz(n)
   2. É normal quase sempre, até em casos de médias de distribuições não normais
2. Distribuição Amostral de uma Proporção
   1. E(p^)=p
      1. Var(p^) =p*(1-p)/n
3. Distribuição Amostral de S 2
   1. E (qui2) = n
      1. Var (qui2) =2n
         1. Aditividade:

            Anotações:

            • Propriedade (aditividade).A soma de duas variáveis independentes 2 1 ν χ e 2 2 ν χ é uma variável 2 21 νν + χ , ou seja, é uma variável 2 χ com ν 1+ν2 graus de liberdade. 
4. Distribuição t de Student
5. Distribuição F de Snedecor

Anotações:

• Considere, por exemplo, a estatística nXXXX n /)... ( 21 +++= . Ela possui n graus de liberdadeporque nvalores Xi livres devem ser considerados no cálculo da estatística. Por outro lado, a estatística 2 S , por usar X em vez do parâmetro populacional µ, tem um grau de liberdade a menos. Note que o cálculo de 2 S admite que já se conheça o valor de X , para o qual já foram usados todos os valores da amostra. Contudo, quando usamos novamente todos os valores da amostra para determinar 2 S , esses valores têm apenas n– 1 graus de liberdade, pois, dados quaisquer n–1 deles, o valor restante estará determinado, pois já sabemos o valor da média X ; assim, o valor restante não é livre. 

1. Lei Forte

   Anotações:

   • Lei Forte dos Grandes Números:a média de uma sequência de variáveis aleatórias independentes com mesma distribuição converge, com probabilidade 1, para a média daquela distribuição.
2. Lei Fraca

   Anotações:

   • É Provável A lei fraca dos grandes números diz que, para qualquer valor n grande específico, é provável que a média nxxx n /)...( 21 +++ esteja próxima de µ.

1. Soma

   Anotações:

   • variância da soma de variáveis independentes é igual à soma das variâncias individuais.