Sistema de ecuaciones

Introducción y Clasificación

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, se expresa como:ax + by = ca'x + b'y=y = c' donde a, b, a' y b' son números reales llamados coeficientes de las incógnitas, y donde c y c' son también números reales llamados términos independientes. Llamamos solución del sistema anterior, a un par de valores, uno para x y otro para y que verifican o satisfacen las dos ecuaciones del sistema. Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes si ambos tienen la misma solución.

Clasificación. Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, los vamos a clasificar, dependiendo del número de soluciones en:a) INCOMPATIBLES: Si no tienen solución.b) COMPATIBLES: Si tienen solución, en cuyo caso se clasifican en: - Determinado: si su solución es única. - Indeterminado: si tiene infinitas soluciones.

La interpretación de ésto resulta bastante evidente pues la representación de cada ecuación lineal se corresponde con una recta, de manera que: - Cuando el sistema sea incompatible (no tenga solución) , entonces las dos rectas serán paralelas (no tienen ningún punto en común).

- Cuando el sistema sea compatible determinado (tenga una única solución), entonces las rectas serán secantes (se cortan en un sólo punto).

- Cuando el sistema sea compatible indeterminado (tenga infinitas soluciones), entonces las rectas serán coincidentes (se cortan en infinitos puntos).

Aqui tenemos hay un video sobre su clasificación:

Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es hallar la/s solución/es de dicho sistema (en caso de tener alguna). Veamos los métodos de los que disponemos para resolverlos en las siguientes páginas.

A) Método de Sustitución

Este método consiste en la realización de los siguientes pasos:1º) Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones.2º) Sustituimos la expresión obtenida al despejar la incógnita, en la otra ecuación.3º) Resolvemos la ecuación de primer grado con una sola incógnita que obtenemos tras el paso 2.4º) Calculamos la otra incógnita en la ecuación despejada.

B) Método de Igualación

Este método consiste en la realización de los siguientes pasos:1º) Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.2º) Igualamos las expresiones de la incógnita despejada, obteniendo una ecuación de primer grado con una única incógnita.3º) Resolvemos la ecuación obtenida.4º) Hallamos el valor de la incógnita que habíamos despejado, al conocer el valor de la otra incógnita.

C) Método de reducción

Este método consiste en la realización de los siguientes pasos: 1º) Preparamos las dos ecuaciones, (para lo cual podemos multiplicar por los números que convenga), de modo que las incógnitas que pretendemos eliminar tengan coeficientes opuestos. 2º) Al sumar dichas ecuaciones se "eliminará" dicha incógnita, obteniendo una ecuación con una sólo incógnita. 3º) Resolvemos dicha ecuación. 4º) Una vez obtenido el valor de dicha incógnita, bastará con sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones inciales y despejar la otra incógnita.

D) Método o Regla de Cramer

Este método consiste en realizar los siguientes pasos:1º)Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.2º) Calcular el determinante de A.3º) Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

E) Matriz Inversa (Método de Gauss-Jordan)

Este método consiste en realizar los siguientes pasos:1º) Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.2º) Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación.3º) Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.4º) Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.5º) Obtenemos el sistema equivalente escalonado.6º) Encontrar las soluciones.

F) Método Gráfico

Este método consiste en realzar los siguientes pasos:1º) Se despeja la incógnita (con cualquiera de los métodos anteriores) y en ambas ecuaciones.2º) Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.3º) Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.4º) Determinar si la/s recta/s son incompatibles, compatibles determinadas o indeterminados.