Μαθηματικά 1 - Θεωρία ΣΛ και Πολλαπλής Επιλογής

(2015 Θέμα Α2α Ημερήσια)
Η επικρατούσα τιμή μίας μεταβλητής είναι μοναδική.

(2015 Θέμα Α2β Ημερήσια)
Έστω συνεχής συνάρτηση \( f : A \rightarrow \mathbb{R} \) και ένα στάσιμο σημείο της \( f \) (δηλαδή \( f'(x_{0}) = 0 \) ). Αν η \( f \) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \( x_{0} \) , τότε παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο \( x_{0} \) όταν \( f'' ( x_{0} ) < 0 \) .
(Μον. 2)

(2015 Θέμα Α2γ Ημερήσια)
Έστω συνάρτηση \( f \) συνεχής στο \( [α, β] \). Τότε ισχύει
\[ \int_{α}^{α} f(x) \ dx = α \ \text{ , όπου } α \in \mathbb{R}^{*} \]

(2015 Θέμα Α2δ Ημερήσια)
Αν οι συναρτήσεις \( f \), \( g \) είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους \( A \), τότε και η \( f \cdot g \) είναι παραγωγίσιμη στο \( A \) και ισχύει
\[ ( f \cdot g )' (x) = f'(x) \cdot g(x) = f(x) \cdot g'(x) \]

(2015 Θέμα Α2ε Ημερήσια)
Η σχετική συχνότητα τιμής \( x_{i} \) μίας μεταβλητής συμβολίζεται με \( f_{i} \) και ισχύει
\[ f_{i} = \dfrac{ ν_{i} }{ ν } \]

Μέγεθος του πληθυσμού λέγεται το πλήθος των ατόμων ενός πληθυσμού.

(2009 Θέμα 1Β Ημερήσια)
Αν η τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας (μεταβολής) ενός δείγματος παρατηρήσεων είναι μικρότερη του 10%, τότε ο πληθυσμός του δείγματος θεωρείται ομοιογενής.

(2009 Θέμα 1Β Ημερήσια)
(συνx)' = ημx

(2009 Θέμα 1Β Ημερήσια)
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση \( f:(α,β) \rightarrow \mathbb{R} \).
Αν \( f'(x) < 0 \) για κάθε \( x \in (α,β) \), τότε η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \( (α,β) \).

(2009 Θέμα 1Β Ημερήσια)
\( \int_{α}^{β} c dx = c ( β - α ) \) , όπου c σταθερά

(2010 Θέμα A2 Εσπερινά)
\( CV = \dfrac{ \text{ μέση τιμή } }{ \text{ τυπική απόκλιση } } \cdot 100\% = \dfrac{ \overline{x} }{ s } \cdot 100\% \)

(2010 Θέμα A2 Εσπερινά)
\( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } f(x) = \ell \), όπου \( \ell \in \mathbb{R} \) αν και μόνο αν
\[ \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0}^{-} } f(x) = \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0}^{+} } f(x) = \ell \]

(2010 Θέμα A2 Εσπερινά)
Αν οι συναρτήσεις \( f, g : A \rightarrow \mathbb{R} \) είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους \( Α \) τότε ισχύει
\[ \left( f \cdot g \right)' (x) = f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \]

(2010 Θέμα A2 Εσπερινά)
Αν η συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής στο \( α, β \) τότε ισχύει
\[ \int_{α}^{β} f(x) \ dx = - \int_{β}^{α} f(x) \ dx \]

(2010 Θέμα A2 Ημερήσια)
Η μέση τιμή δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές της μεταβλητής.

(2010 Θέμα A2 Ημερήσια)
Αν υπάρχει το \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } f(x) \) και είναι \( \ell \in \mathbb{R} \), τότε \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } |f(x)| = |\ell| \)

(2010 Θέμα A2 Ημερήσια)
Αν μια συνάρτηση \( f \) δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο \( x_{0} \) του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0} \).

(2010 Θέμα A2 Ημερήσια)
Ισχύει ότι \( \int_{α}^{α} f(x) \ dx = α \), για κάθε \( α \in \mathbb{R} \)

(2011 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Εύρος τιμών μιας μεταβλητής είναι η διαφορά της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη.

(2011 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Αν υπάρχουν τα \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } f(x) = \ell_{1} \), \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } g(x) = \ell_{2} \) με \( \ell_{1} , \ell_{2} \in \mathbb{R} \) τότε
\[ \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } \left( f(x) + g(x) \right) = \ell_{1} - \ell_{2} \]

(2011 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο \( x_{0} \) του πεδίου ορισμού της, τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

(2011 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Ισχύει ότι \( \int_{α}^{β} e^{x} \ dx = e^{α} - e^{β} \)

(2011 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Η μέση τιμή (μέσος όρος) υπολογίζεται μόνο σε ποσοτικές μεταβλητές.

(2011 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Αν υπάρχουν τα \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } f(x) \) , \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } g(x) \) και είναι \( \ell_{1} , \ell_{2} \in \mathbb{R} \) αντίστοιχα, τότε
\[ \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = \ell_{1} \cdot \ell_{2} \]

(2011 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Αν οι συναρτήσεις \( f , g \) είναι παραγωγίσιμες στο \( \mathbb{R} \), τότε ισχύει
\[ \left( f \cdot g \right)′(x) = f ′(x) \cdot g ′(x) \ , \ x \in \mathbb{R} \]

(2011 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Ισχύει ότι \( \int_{α}^{β} ημx \ dx = συνβ - συνα \)

(2011 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Αν η συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \( (α, β) \) και \( f′(x) > 0 \) για κάθε \( x \in (α,β) \), τότε η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα στο \( (α,β) \).

(2012 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Τα άκρα των διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης \( f \) , μπορούν να θεωρηθούν ως πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων.

(2012 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς.

(2012 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Αν η συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής σε σημείο \( x_{0} \) , τότε το \( x_{0} \) δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

(2012 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Αν υπάρχει το \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } f(x) = \ell_{1} \) όπου \( \ell_{1} \in \mathbb{R} \), τότε είναι \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_{0} } \left[ f(x) \right]^{v} = \ell_{1}^{v} \) , όπου \( v \in \mathbb{N}^{\star} \)

(2012 Θέμα Α2 Εσπερινά)
Έστω \( f \) συνεχής στο \( [α,β] \) και \( f(x) \geq 0 \) για κάθε \( x \in [ α, β] \) , τότε
\[ \int_{α}^{β} f(x) \ dx < 0 \]

(2012 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Αν μια συνάρτηση \( f \) δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο \( x_{0} \) του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0} \).

(2012 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Το εύρος ως παράμετρος διασποράς εξαρτάται μόνο από τις ακραίες τιμές της μεταβλητής.

(2012 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Έστω συνάρτηση \( f \) συνεχής στο \( [α,β] \). Τότε ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα για το ορισμένο ολοκλήρωμα
\[ \int_{α}^{γ} f(x) \ dx + \int_{β}^{γ} f(x) \ dx = \int_{α}^{β} f(x) \ dx , \text{ με } \ α < γ < β \]

(2012 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Ισχύει ότι \( \left( x^{α} \right)' = α \ x^{α - 1} \) , \( α \in \mathbb{R} \) , \( x > 0 \)

(2012 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Έστω δύο συνεχείς συναρτήσεις \( f, g : [α, β] \rightarrow \mathbb{R} \) με συνεχείς παραγώγους \(f' \), \( g' \). Τότε ισχύει ότι
\[ \int_{α}^{β} f'(x) \cdot g(x)dx = \left[ f(x) g(x) \right]^{β}_{α} - \int_{α}^{β} f(x) \cdot g'(x) \ dx \]

(2013 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Εάν η τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας είναι κάτω του 10%, ο πληθυσμός του δείγματος θεωρείται ομοιογενής.

(2013 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Εάν οι συναρτήσεις \( f , g : A \rightarrow \mathbb{R} \) είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους, με \( g(x) \neq 0 \) , τότε ισχύει
\[ \left( \dfrac{ f }{ g } \right)'(x) = \dfrac{ f'(x) \cdot g(x) - f (x) \cdot g'(x) }{ g^{2}(x) } \]

(2013 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Εάν μια συνάρτηση \( f \) δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο \( x_{0} \) του πεδίου ορισμού της, τότε είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0} \) .

(2013 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Ισχύει ότι
\[ \int_{α}^{β} e^{x} \ dx = \dfrac{ e^{β+1} }{ β+1 } - \dfrac{ e^{α+1} }{ α+1 } \text{ με } α \neq -1 \text{ και } β \neq -1 \]

(2013 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Δίνονται οι συναρτήσεις \( f , g \) συνεχείς στο \( [α,β] \) . Αν \( f(x) \geq g(x) \) για κάθε \( x \in [α, β] \) , τότε
\[ \int_{α}^{β} f(x) \ dx \geq \int_{α}^{β} g(x) \ dx \]

(2014 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Αν η \( f \) είναι συνεχής στο \( [α ,β] \) και η \( F \) είναι μία παράγουσα της \( f \) , τότε ισχύει
\[ \int_{α}^{β} f(x) \ dx = F(β) - F(α) \]

(2014 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Το εύρος των τιμών μιας μεταβλητής δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές της.

2014 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Αν η συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R} \) και \( c \in \mathbb{R} \) μία σταθερά, τότε ισχύει
\[ \left( c \cdot f \right)' (x) = f′(x) + c \]

(2014 Θέμα Α2 Ημερήσια)
\( \left( x^{α} \right)' = α \cdot x^{α+1} \) , \( x > 0 \) , \( α \in \mathbb{R}^{\star} \) .

(2014 Θέμα Α2 Ημερήσια)
Αν η \( f \) είναι συνεχής στο \( [α, β] \) , τότε ισχύει
\[ \int_{α}^{β} f(x) \ dx = - \int_{β}^{α} f(x) \ dx \]