En 1931, con sólo 25 años, publicó su logro principal que hoy es conocido como el TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL, posiblemente el descubrimiento matemático más importante del Siglo XX .

El Teorema de Incompletitud de Gödel.

En 1931 Gödel publicó en una revista científica alemana un artículo que llevaba el impresionante título "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Pricipia Mathematica y sistemas relacionados" .

El sueño de todo matemático es probar que su ciencia es consistente y completa .

Consistente quiere decir que nunca se deducirán dos teoremas que están en contradicción, que no se puede deducir la verdad y la falsedad de una misma proposición.

Y que el sistema sea completo significa que toda proposición que haya sido o pueda ser pensada sea susceptible, con las armas de deducción del sistema, de ser probada o refutada su veracidad.

El Teorema de Gödel también implica, para desencanto de muchos, que las computadoras nunca podrán ser programadas para contestar toda pregunta matemática.
Cuando una proposición sea indecidible, podemos incorporarla - la proposición o su negación - como un nuevo axioma (y ya no necesito demostración alguna) y asunto resuelto. ¡ Pero habrá otra proposición indecidible en el nuevo sistema axiomático¡

Esto de incorporar proposiciones indecidibles como nuevos axiomas ya se ha hecho en dos casos notables:

(1) El famoso postulado de Euclides. ".Por un punto exterior a una recta pasa una, y sólo una, paralela a ella". Su incorporación como axioma (lo que hizo Euclides) dio lugar a la Geometría Euclídea, la incorporación de sus negaciones dio lugar a las Geometrías No-Euclídeas (nombre creado por Gauss)

(1) EL 5 o POSTULADO DE EUCLIDES Y GEOMETRÍAS NO-EUCLÍDEAS.

GF Bernhard RIEMANN (alemán, fue discípulo de Gauss, 1826-1866) postuló que por un punto exterior no pasa paralela alguna, dando lugar a otra Geometría No-Euclídea (también llamada "de Riemann").

(2) LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO.
Georg F. CANTOR (ruso-alemán, 1845-1918) es el creador de la célebre Teoría de Conjuntos.

Kurt Gödel en 1938-1940 demuestra que no existe peligro en tomar la H. del Continuo como un axioma de la Teoría de Conjuntos sin que apareció contradicción alguna, no era una demostración de la H. del Continuo, sino tan sólo una demostración de que tal hipótesis no puede ser refutada.