Demostraciones de proposiciones.

Si \((a_{n})\) es una sucesión convergente en un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) entonces su límite es único.

Toda sucesión convergente \((a_{n})\) de elementos de un cuerpo \(\mathbb{K}\) está acotada en \(\mathbb{K}\).

Si \((a_{n})\) es una sucesión acotada y \((b_{n})\) es una sucesión convergente con límite cero, entonces \(\underset{n}{lim}\,a_{n}b_{n}=0\).

Si \((b_{n})\) es una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) tal que \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\neq0\), entonces existe un número natural \(n_{0}\) tal que \(|b_{n}|>\frac{|b|}{2}\) para todo \(n\geq n_{0}\).

Si \((a_{n})\) y \((b_{n})\) son dos sucesiones de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) tales que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\) y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\), entonces:

1. \(\underset{n}{lim}\,(a_{n}+b_{n})=a+b\)

2. \(\underset{n}{lim}\,(a_{n}-b_{n})=a-b\)

Si \((a_{n})\) y \((b_{n})\) son dos sucesiones de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) tales que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\) y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\), entonces:

1. \(\underset{n}{lim}\,a_{n}b_{n}=a\,b\)

2. Si \(b_{n}\neq0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\) y \(b\neq0\), \(\underset{n}{lim}\,\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b}\)

Si \((a_{n})\) es una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) tal que \(a_{n}\geq0\) para todo \(n\) y \(\underset{n}{lim}\,(a_{n})=a\), entonces \(a\geq0\).

Toda sucesión de Cauchy \((a_{n})\) de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) está acotada en \(\mathbb{K}\).

Toda sucesión convergente \((a_{n})\) de elementos de un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) es una sucesión de Cauchy en \(\mathbb{K}\).

En un cuerpo ordenado \(\mathbb{K}\) en el que se verifica el axioma del supremo, toda sucesión \((a_{n})\) creciente y acotada superiormente es convergente y \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=sup\{a_{n}\,:\,n\in\mathbb{N}\}\).

Todo número real no negativo \(a\) tiene una raíz cuadrada no negativa única.

Sean \((a_{n})\) y \((b_{n})\) dos sucesiones de números reales tales que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\) y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\), con \(a,\,b\in\mathbb{\bar{\mathbb{R}}}\). Se verifican las siguientes propiedades:

1. Si \(a=\pm\infty\) y \(b\in\mathbb{R}\), entonces \(\underset{n}{lim}\,(a_{n}+b_{n})=\pm\infty\).

2. Si \(a=b=\pm\infty\), entonces \(\underset{n}{lim}\,(a_{n}+b_{n})=\pm\infty\).

Sean \((a_{n})\) y \((b_{n})\) dos sucesiones de números reales tales que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\) y \(\underset{n}{lim}\,b_{n}=b\), con \(a,\,b\in\mathbb{\bar{\mathbb{R}}}\). Se verifican las siguientes propiedades:

1. Si \(a=\pm\infty\) y \(b>0\), entonces \(\underset{n}{lim}\,a_{n}b_{n}=\pm\infty\).

2. Si \(a=\pm\infty\) y \(b<0\), entonces \(\underset{n}{lim}\,a_{n}b_{n}=\mp\infty\).

Sea \((a_{n})\) una sucesión de números reales tal que \(\underset{n}{lim}\,a_{n}=a\), con \(a\in\mathbb{\bar{\mathbb{R}}}\). Se verifican las siguientes propiedades:

1. Si \(a=\pm\infty\), entonces \(\underset{n}{lim}\,\frac{1}{a_{n}}=0\).

2. 2. Si \(a=0\), y \(a_{n}>0\) (resp. \(a_{n}<0\)) para todo \(n\in\mathbb{N}\), entonces \(\underset{n}{lim}\,\frac{1}{a_{n}}=+\infty\) (resp. \(-\infty\)).

Un conjunto \(I\subset\mathbb{R}\) es un intervalo si y sólo si para cualesquiera \(x,\,y\in I\) tales que \(x<y\) se verifica que \([x,\,y]\in I\).

Se verifican las siguientes propiedades:

1. \(\emptyset\) y \(\mathbb{R}\) son abiertos.

2. La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

3. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es abierto si y sólo si es unión de una colección finita o numerable de intervalos abiertos disjuntos.

Se verifican las siguientes propiedades:

1. \(\emptyset\) y \(\mathbb{R}\) son cerrados.

2. La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

3. La unión de cualquier coleción finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Para cada \(A\subset\mathbb{R}\) los conjuntos \(int(A)\), \(ext(A)\) y \(fr(A)\) son disjuntos y se verifica que \(\mathbb{R}=int(A)\cup ext(A)\cup fr(A)\).

Para cada \(A\subset\mathbb{R}\) los conjuntos \(int(A)\) y \(ext(A)\) son abiertos, y el conjunto \(fr(A)\) es cerrado.

Para cada conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) el conjunto \(adh(A)\) es el mínimo cerrado que contiene a \(A\).

Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es cerrado si y sólo si \(A=adh(A)\).

Para cada \(A\subset\mathbb{R}\) se verifica que \(adh(A)=A\cup ac(A)\).

Un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\) es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.

Todo intervalo \([a,\, b]\) es compacto.

Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), un conjunto \(B\subset A\) y un punto de acumulación \(a\in B\). Si \(\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\), entonces también \(\underset{x\in B,\,x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\).

Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in\mathbb{R}\) de los conjuntos \((-\infty,\,a)\cap A\) y \((a,\,+\infty)\cap A\). Entonces \[\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\quad\textrm{si y sólo si}\quad\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=l\]

Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in A\). Una condición necesaria y suficiente para que sea \(\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=l\in\bar{\mathbb{R}}\) es que para toda sucesión \((x_{n})\) de puntos de \(A\) distintos de \(a\) tal que \(\underset{n}{lim}\,x_{n}=a\) se verifique que \(\underset{n}{lim}\,f(x_{n})=l\).

Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in A\). El límite de \(f\) cuando \(x\rightarrow a\), si existe, es único.

Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto de acumulación \(a\in A\). Si es \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=l<k\in\mathbb{R}\] existe un entorno \(N(a)\) tal que \(f(x)<k\) para todo \(x\in(A-\{a\})\cap N(a)\).

Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), dos funciones \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\) tales que \(f(x)\leq g(x)\) para todo \(x\in A\), y un punto de acumulación \(a\in A\). Si se tiene que \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=l\quad\textrm{y}\quad\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)=m\quad\textrm{(}l\textrm{,}\,m\textrm{)}\in\mathbb{\bar{R}}\] entonces \(l\leq m\).

Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), tres funciones \(f\), \(g\) y \(h\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\) tales que \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) para todo \(x\in A\), y un punto de acumulación \(a\in A\). Si se cumple que \[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=\underset{x\rightarrow a}{lim}\,h(x)=l\in\bar{\mathbb{R}}\] entonces también se verifica que\[\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)=l\]

Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), dos funciones \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\), y un punto de acumulación \(a\in A\). Supongamos que \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,f(x)=l\quad\textrm{y}\quad\underset{x\rightarrow a}{lim}\,g(x)=m\quad\textrm{(}l\textrm{,}\,m\textrm{)}\in\mathbb{\bar{R}}\). Entonces, se verifican

1. \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,(f+g)(x)=l+m\),
2. \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,(f-g)(x)=l-m\),
3. \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,(fg)(x)=lm\),
4. \(\underset{x\rightarrow a}{lim}\,(\frac{f}{g})(x)=\frac{l}{m}\),

siempre que estén definidos los segundos miembros.

Sean \(I\) un intervalo abierto y \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) una función creciente. Entonces para todo \(a\in \mathbb{R}\) existe los límites laterales de \(f\) en \(a\) y se verifica \[\underset{x\rightarrow a^{-}}{lim}\,f(x)\leq\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)\] Además, si \(a\) y \(b\) son dos puntos de \(I\) tales que \(a<b\), entonces \[\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}\,f(x)\leq\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)\]

Sean una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y un punto \(a\in A\). Una condición necesaria y suficiente para que \(f\) sea continua en \(a\) es que para toda sucesión \((x_{n})\) de puntos de \(A\) tal que \(\underset{n}{lim}\,x_{n}=a\) se verifique que \(\underset{n}{lim}\,f(x_{n})=f(a)\).

Sean un conjunto \(A\subset\mathbb{R}\), dos funciones función \(f\) y \(g\) de \(A\) en \(\mathbb{R}\), y un punto \(a\in A\). Si \(f\) y \(g\) son continuas en \(a\), entonces las funciones \(f+g\), \(f-g\) y \(fg\) son continuas en \(a\). Además, si \(g(a)\neq 0\), entonces también \(f/g\) es continua en \(a\).

Sean dos conjuntos \(A\subset\mathbb{R}\) y \(B\subset\mathbb{R}\). Si \(f:A\rightarrow B\) es continua en \(a\in A\) y \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) es continua en \(b=f(a)\), entonces la función compuesta \(f\circ g\) es continua en \(a\).

Sea una función \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\). Una condición necesaria y suficiente para que \(f\) sea continua en \(A\) es que para todo abierto \(U\) exista un abierto \(V\) tal que \[f^{-1}(U)=A\cap V\]

Sea \(A\subset\mathbb{R}\) un conjunto compacto y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, el conjunto \(f(A)\) es compacto.

Sean \(I\) un intervalo y \(f:I\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, el conjunto \(f(I)\) es también un intervalo.

Sea \(f\) una función continua y creciente (resp. decreciente) en un intervalo \(I\). Entonces su función inversa \(f^{-1}\) es también continua y creciente (resp. decreciente) en \(f(I)\).

Sean \(A\) un subconjunto compacto de \(\mathbb{R}\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Entonces, \(f\) es uniformemente continua en \(A\).

Sean \(A\) un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}\) y \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\). Si \(f\) es derivable en un punto \(a\in A\), entonces \(f\) es continua en \(A\).

Sean \(A\) un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}\), \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) una función derivable en \(a\in A\), \(B\) un subconjunto abierto que contiene a \(f(A)\) y \(g:B\rightarrow\mathbb{R}\) una función con derivada finita en \(f(a)\). Entonces la función compuesta \(g\circ f:A\rightarrow\mathbb{R}\) es derivable en \(a\) y \[(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\text{·}f'(a)\]

Sea \(f\) una función monótona y continua en un intervalo. Si \(f\) es derivable en un punto \(a\) interior a dicho intervalo y \(f'(a)\neq0\), entonces su función inversa \(f^{-1}\) es derivable en \(b=f(a)\) y \[(f^{-1})(b)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\]