3.4 Sumar i restar, el calcul i les algorismes

3.4.1.- Algorismes de càlcul3.4.2.- L’aritmètica informal 3.4.3.- Procés d’ensenyament de la suma3.4.4.-Algorisme de la suma portant-ne3.4.5.- Altres algorismes per sumar.3.4.6.- L’algorisme estàndard de la suma.3.4.7.- Procés d’ensenyament de la resta

S'entén per algorisme un procediment que cal fer pas a pas i que s’acaba. • En ells, els nombres s’hi consideren descompostos en unitats, desenes, centenes ... considerant les xifres separadament, en lloc de tractar el número globalment. • Gómez (1988) da diez características para los algoritmos de lápiz y papel: – 1).Escritos, permanecen sobre el papel y pueden ser corregidos. – 2) Todo el mundo los hace igual (estándar). – 3) Son abreviados, al ocultar pasos que tienen que ver con la propiedad asociativa, conmutativa y distributiva. – 4) Son automáticos, no hace falta ni ser comprendidos. – 5) Son simbólicos, no referidos al mundo real. – 6) Son generales y válidos para cualquier número. – 7) Son analíticos y las cifras se manipulan separadamente. – 8) Son utilizados desde siempre. – 9) Funcionan siempre. – 10) Son familiares, transmitidos de generación en generación.

3.4.1. Algorismes de calcul

- Consideracions referents als algoritmes Baroody (1988): «Se exige que los niños memoricen datos, definiciones, procedimientos de cálculo, técnicas de medición, etc….Como el cultivo y la evaluación de la comprensión matemática, el razonamiento y la resolución de problemas son difíciles, la educación masiva se centra en la enseñanza y la evaluación de datos y técnicas matemáticas». - Si els recursos són limitats i les classes nombroses, l’ensenyar pràctica repetitiva de dades i tècniques resulta més còmode que la construcció del coneixement i l’aptitud pel raonament. - Per altra banda, avaluar dades i tècniques és més fàcil que constatar el coneixement conceptual i la capacitat de raonament.

- S'entén per aritmètica informal qualsevol procediment de càlcul no estàndard. • L’aritmètica informal té un paper fonamental en l’aprenentatge de les tècniques de càlcul definitives.- En general, després de presentar als alumnes una operació en alguns contextos significatius, es passa a la repetició d’exercicis de dades numèriques i tècniques algorítmiques, sense tenir en compte la necessitat que tenen els nens de dedicar temps a l’aritmètica informal.- Aportacions de C. Kamii (1985,1989 i 1994) sobre la necessitat de treballar l’aritmètica informal en les aules:« ¿Por qué queremos que los niños reinventen la aritmética? Los algoritmos de hoy son el resultado de siglos de construcción por parte de matemáticos adultos. Al tratar de transmitir de una forma prescrita los resultados de siglos de reflexión por parte de personas adultas, privamos a los niños de la posibilidad de pensar por su cuenta. Los niños de hoy inventan los mismos tipos de procedimientos que inventaron nuestros antepasados y necesitan pasar por un proceso similar de construcción para llegar a ser capaces de comprender los algoritmos de los adultos. Los primeros métodos de los niños son indiscutiblemente ineficaces. Sin embargo, cuando los niños tienen libertad de pensar por su cuenta, inventan procedimientos cada vez más eficaces, como hicieron nuestros antepasados. Cuando tratamos de que los niños pasen por alto el proceso constructivo, les impedimos comprender la aritmética. » (Kamii, 1994).Kamii no només planteja la necessitat de l’aritmètica informal per raons d'aprenentatge. El seu plantejament és molt més radical, afirma fins i tot que ensenyar algorismes és perjudicial. • Ho fonamenta en tres raons: – 1.- Els algorismes obliguen als nens a renunciar al seu pensament numèric. – 2.- Els algorismes transmeten de forma incorrecta el valor relatiu de les xifres i dificulten el desenvolupament del sentit numèric. – 3.- Els algorismes obliguen als nens a dependre de la distribució espacial de les xifres i del llapis i el paper.

3.4.2. L'aritmètica informal

Per tal d'esquematitzar el procés d'ensenyament - aprenentatge de la suma, graduant -ne el nivell de dificultat, podem considerar els punts següents: a) Suma per reunió d'objectes compresos entre el 0 i el 5. Fem totes les sumes possibles que tinguin com a resultat quantitats iguals o menors a 5; d'aquesta manera els alumnes poden visualitzar les diferents quantitats que fan servir per sumar i imaginar -se els problemes que estan resolent. 1+1=2 / 2+1=3 / 3+1=4 / 4+1=5 / 5+0=5 /  1+2=3 /  2+2=4 / 3+2=5 /  4+0=4 / 1+3=4 /  2+0=2 /  3+0=3 / 1+4=4 / 1+0=1b) Suma per reunió d'objectes compresos entre el 0 i el 10. Seguint el procés anterior, fem primer les sumes amb resultat menor o igual a 6, després les de resultat menor o igual a 7 i així fins arribar al 10.

3.4.3. Procés d’ensenyament de la suma

1.- Sumes amb resultats majors que 10 i menors que 20. 2.- Sumes portant-ne.3.- Sumes de tres sumands

bddf4070-ab6c-4378-86ff-66a016129e83 (image/png)

Hi ha dues teories sobre l’ensenyament-aprenentatge de l’algorisme de la suma: 1) Procediments unitaris (suma per columnes), és el procediment clàssic. Es proposa una aproximació gradual a l’algorisme de la suma amb els passos següents : • Sumes sense portar-ne amb nombres: d’una xifra, nombres de dues xifres, nombres de tres xifres, . . . • Sumes portant-ne en: les unitats, desenes, centenes,. . .2) Fuson proposa procediments multiunitaris (comparació inicial i suma final)- El procediment d'afegir una unitat més al següent ordre és el mateix en el cas de les unitats, desenes o centenes. - Fuson proposa presentar les dues opcions alhora.       * Procediment: suma les unitats. Si la suma és més gran que 9, afegeix una desena a les desenes ... 

3.4.4.- Algorisme de la suma portant-ne

3.4.5.- Altres Algoritmes per suma

Diferents versions del algorisme en la suma 48 +25 : – ¿Quins d’aquests algorismes afavoreix la comprensió de la mida d’un nombre? – ¿Quins d’aquests algorismes afavoreix el càlcul mental?

63d7df0a-00c5-43c0-ad6b-63426baba47d (image/png)

Exemple: 48+25= – 4(10)+8+2(10)+5 , Estructura decimal – [4 (10)+2 (10)] + [8+5] , Associativa i Commutativa. – [(4+2) (10)] + [8+5] , Distributiva – 6 (10) + 13 , Sumes bàsiques – [6 (10)] + [1 (10)+3] , Estructura decimal – [(6+1) (10)] + 3 , Distributiva – 7 (10) + 3 , Sumes bàsiques – 73 , Estructura posicional

3.4.6.L’algorisme estàndard de la suma

Introduirem l'operació de restar abans de començar a treballar la numeració entre el 10 i el 20, és a dir, abans d'introduir les desenes. La resta es pot introduir a través de dues tipologies bàsiques de problemes: els que consideren la resta com a diferencia i els que la consideren com a operador. La resta com operador – Amb la resta com a operador volem calcular el resultat obtingut en treure una quantitat d'una altra quantitat donada – En aquest tipus d'operació tenim una quantitat fixa i mitjançant una acció la modifiquem, en aquest cas menjar. 

de021186-20fd-43b0-b533-9dbef099bf90 (image/png)

3.4.7.- Procés d’ensenyament de la resta

La resta com a diferència Amb la resta com a diferencia es tracta de trobar allò que manca a una quantitat per arribar a una altra quantitat. – Per exemple: • He posat 3 ampolles en una caixa de 12 ampolles. Quantes ampolles em falten per completar la caixa? – Aquest tipus d'operació, més que no pas una substracció de fet és una addició, ja que el que fem per obtenir el resultat és buscar el nombre que sumat al subtrahend dóna el minuend.- Es més convenient fer la introducció a la resta amb enunciats que la considerin com a operador

3857a29d-95f7-4a5d-a6ae-2f472ad7d49c (image/png)

Esquemàticament, el procés que proposem per a l'ensenyament de la resta pot seguir una sèrie de passes com les que descrivim a continuació: – Abans d'arribar a l'estudi de la desena farem subtraccions com les de les activitats següents:

1d91e7e0-606f-494c-aa0e-aef77d095d99 (image/png)

La resta portant – La resta portant és una de les dificultats més grans amb que ens trobem en l'ensenyament de les operacions bàsiques. En general, els nens i nenes de cicle inicial no tenen gaire capacitat per entendre el raonament que justifica aquest algorisme.– Hi ha diversos recursos que podem utilitzar per tal de facilitar la comprensió de l'algorisme de la resta portant. Però tots, essencialment, es basen en un parell de propietats aritmètiques: • la descomposició d'una desena en 10 unitats ,• la invariància d'una substracció si afegim la mateixa quantitat al minuend que al subtrahend .– Restes equivalents. Afegim la mateixa quantitat al minuend i al subtrahend– La descomposició d'una desena en 10 unitats – La descomposició d'una desena en 10 unitats. Per representar un nombre, utilitzem els blocs o material no estructurat, boletes,...

aff89046-7b89-47f9-b9de-caf8e9abf55a (image/png)