Utilidad Esperada

Preliminares

Una vez explicados y ejemplificados los axiomas que las preferencias deben cumplir, es posible ahora definir una función de utilidad que represente dichas preferencias. Por lo general, para que exista esa función siempre es suficiente con asumir que la relación de preferencias cumplas con los axiomas de racionalidad y continuidad. Sin embargo, es conveniente que la función de utilidad cumpla la propiedad de la utilidad esperada

Definiciones

Sea la utilidad del resultado xn perteneciente a X, presentada por la función   u: X-----> R.   Entonces, una función de utilidad   U: L-----> R  tiene la propiedad de la utilidad esperada si para toda Ln:  U(Ln) = E(u(Ln)) = (Probabilidades de xn) * (utilidades de xn). La propiedad de la utilidad esperada asigna a cada lotería el valor esperado de las utilidades que obtienen. El valor esperado se calcula sobre la distribución de probabilidades efectivas. Suponga que las preferencias de un consumidor están representadas por una función de utilidad con la propiedad de la utilidad esperada; dicho consumidor será un maximizador de su utilidad esperada si escoge la lotería que le de la mayor utilidad esperada. Definición: Función de Utilidad de von Neumann-Morgenstern: A toda función de utilidad que cumple la propiedad de la utilidad esperada se le denomina función de utilidad de Neumann. Definición: Función de Utilidad de Bernoulli: Cuando los resultados son pagos monetarios, a la función de utilidad del resultado se le denomina función de utilidad de Bernoulli

Propiedades de la Función de Utilidad

La propiedad de la utilidad esperada es una característica cardinal de las funciones de utilidad definidas sobre el espacio de loterías. La siguiente proposición hace uso de esa característica: Transformaciones afines: Sea U: L-----> R una función de utilidad de Neumann que representa la relación de preferencias en L. Entonces V: L-----> R también será otra función de utilidad de Neumann para preferencias en L si y solo sí existen el escalar beta real positivo y el escalar gamma real, tal que para toda lotería simple Ln se tiene que  V(Ln) = βU(Ln) + γ . A este tipo de transformaciones lineales crecientes se les denomina transformaciones afines. Linealidad de la Utilidad Esperada: Una función de utilidad U: L-----> R tiene la propiedad de la utilidad esperada si y solo si es lineal, esto es, si para todo conjunto de loterías simples (Lk) se cumple que: U( (Probabilidades de Lk)*(Lk) ) = (Probabilidades de Lk)*U(Lk). donde la suma de las probabilidades del conjunto de loterías simples es igual a 1  

Existencia de la función Utilidad Esperada

Suponga que la relación de preferencias racionales en el espacio de loterías satisface las propiedades de continuidad e independencia. Entonces, las preferencias pueden ser representadas con la función de utilidad U: L-----> R con la propiedad de la utilidad esperada, tal que para todo par de loterías L1, L2 se tiene que (ej.) el individuo preferirá L1 sobre L2 si y solo si la utilidad de L1 sea mayor de la utilidad de L2. Este teorema es la base para la teoría de decisión bajo incertidumbre. Alternativamente se tiene que el individuo preferirá L1 sobre L2 si y solo si el producto de (Probabilidades de L1 para xn)*u(xn) es mayor al producto de (Probabilidades de L2 para xn)*u(xn)

Utilidad Esperada para Loterías Continuas

La función de utilidad de Neumann (vNM) puede definirse también para loterías continuas Si la lotería continua está identificada por la función de distribución acumulativa F: X -----> [0,1] con función de densidad f(x), entonces la función de utilidad vNM es: U(F) = Integral [u(x) * f(x) dx](infinito superior, infinito inferior)