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Beschreibung
Mindmap von Guillermo Martinez, aktualisiert more than 1 year ago
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Erstellt von Guillermo Martinez
vor fast 4 Jahre
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Derivada como limite
- La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de
cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se torna cada vez más pequeño.
- La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente (la
gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).
- A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en
lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton
y Gottfried Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para
manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y la
integración son operaciones inversas. Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el
cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía
con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo,
intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la
velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Gottfried Leibniz, por su parte, formuló
y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultad
- En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad {\displaystyle
y\,}y\, cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad {\displaystyle x\,}x\,. En matemáticas,
coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector
unitario, una función base, etc. En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna
fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo. En nuestro caso, observando la
gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto {\displaystyle
P\,}P\, de la función por el resultado de la división representada por la relación {\displaystyle \textstyle
{\frac {dy}{dx}}}\textstyle {\frac {dy}{dx}}, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que
se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto
{\displaystyle P\,}P\, de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triáng
- En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad {\displaystyle
y\,}y\, cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad {\displaystyle x\,}x\,. En matemáticas,
coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector
unitario, una función base, etc. En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna
fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo. En nuestro caso, observando la
gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto {\displaystyle
P\,}P\, de la función por el resultado de la división representada por la relación {\displaystyle \textstyle
{\frac {dy}{dx}}}\textstyle {\frac {dy}{dx}}, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que
se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto
{\displaystyle P\,}P\, de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triáng
- A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus predecesores, en
lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de la matemática reconoce que Isaac Newton
y Gottfried Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para
manipular las derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y la
integración son operaciones inversas. Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el
cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía
con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo,
intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la
velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Gottfried Leibniz, por su parte, formuló
y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultad
- Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la época
clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución
hasta diecinueve siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que
atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: El problema de la
tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de
Fermat)
- Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los infinitesimales: Johannes
Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que
llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII las
cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de
tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
- La derivada de {\displaystyle f}f en {\displaystyle x}x es entonces el límite del valor del cociente
diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente
- La derivada de {\displaystyle f}f en {\displaystyle x}x es entonces el límite del valor del cociente
diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente
- La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es
necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una
herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias
sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos
dimensiones de {\displaystyle f}f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente
del gráfico en el punto {\displaystyle x}x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el
límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es
decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden
determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía
de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.
- La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente (la
gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la curva está dibujada en verde).
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