Teoría de Juegos: Juegos Estratégicos con Información Completa (II)

Equilibrio de Nash I

Estrategias Puras Dado un juego estratégico G = [ J, Sj, uj ], una combinación de estrategias s* es un equilibrio de Nash si para toda estrategia sj diferente a sj* del jugador j se cumple que: uj(sj*, s-j*) ≥ uj(sj, s-j*)  Mejor Respuesta Dado un juego estratégico G, y para cada jugador j,  se define BRj(s-j) como el conjunto de estrategias del jugador j que representan la mejor respuesta de dicho jugador, para cualquier combinación de estrategias s-j de los demás jugadores, tal que: BRj(s-j) = [sj : donde para todo s'j, uj(sj, s-j) ≥ uj(s'j, s-j)]. Alternativamente BRj(s-j) = arg max uj(sj, s-j) Dado un estratégico G, una combinación de estrategias s* es un equilibrio de Nash si para cada jugador se cumple que s* pertenece a BRj(s-j*). Si sj es estrictamente dominada entonces sj no pertenece a BRj(s-j). Si sj es estrictamente dominante, entonces BRj(s-j) = sj Estrategias Dominantes Dado un juego estratégico G, así como una combinación de estrategias s*. Si s* está constituido por estrategias dominantes, entonces es un equilibrio de Nash  

Equilibrio de Nash II

Eliminación Iterativa Estricta Dado un juego estratégico G, así como una combinación de estrategias s*. Si s* es un equilibrio de Nash, entonces las estrategias que lo componen sobreviven al proceso de eliminación iterativa estricta. Si s* esta constituido por las únicas estrategias que sobreviven al proceso de eliminación iterativa estricta, entonces es el único equilibrio de Nash. Eliminación Iterativa Débil. Es posible que algún equilibrio de Nash no sobreviva el proceso de eliminación iterativa débil. Dado un juego estratégico finito G, si s* única combinación que sobrevive el proceso de eliminación iterativa débil, entonces es un equilibrio de Nash Eficiencia de Pareto. Dado un juego estratégico G, una combinación de estrategias s' domina en el sentido de Pareto a otro perfil s'' si y solo si: u(s') ≥ u(s'') , para todo jugador j, tal que la desigualdad es estricta para alguno de ellos. Dado un juego estratégico G. Una combinación de estrategias s es eficiente en el sentido de Pareto si y solo si no esta dominada en el sentido de Pareto por ninguna combinación. Una combinación de estrategias s es ineficiente en el sentido de Pareto si está dominada en sentido de Pareto por alguna otra combinación. Un equilibrio de Nash puede ser ineficiente en el sentido de Pareto.

Estrategias Mixtas: Definiciones

Una estrategia pura para el jugador j especifica una elección determinística sj(hj) dado su conjunto de información hj. Sin embargo cada jugador j puede escoger su estrategia en forma aleatoria. Dado el conjunto de estrategias puras Sj, una estrategia mixta para el jugador j es una función σj que asigna una probabilidad σ(sj) a cada estrategia pura sj, de manera que la sumatoria de estas probabilidades será igual a 1. Defina Δ(Sj) como el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre Sj, esto es, el conjunto de estrategias mixtas para jugador j tal que Δ(Sj) será igual a σj donde σjm>0 , para todo m = 1, 2, ..., Mj y sumatoria de σjm igual a 1. Si cada conjunto de estrategias Sj es finito, entonces la probabilidad de ocurrencia del perfil de estrategias s es igual al resultado de todas las combinaciones de σ(sj). El valor esperado del pago para el jugador j está dado por una función a la von Neumann-Morgenstern (vNM): Uj: Δ(S)---> Reales, donde Δ(S) es igual al resultado de todas las combinaciones de Δ(Sj). Si la probabilidad de ocurrencia de la combinación de estrategias s es el resultado de todas las combinaciones de σ(sj), entonces el valor esperado del pago del jugador j para una estrategia mixta σ es Uj(σ), que es la sumatoria de los productos entre el resultado de todas las combinaciones de σ(sj) y uj(s) Extensión mixta de Juegos Estratégicos: La extensión mixta de un juego estratégico G es el juego estratégico ΔG = [ J, Δ(Sj), Uj ]

Dominancia en Estrategias Mixtas

En el juego estratégico ΔG = [ J, Δ(Sj), Uj ] Una estrategia sj es estrictamente dominada para el jugador j si para toda combinación de estrategias s-j de los demás jugadores, existe una estrategia mixta σj para el jugador j tal que: uj(sj, s-j) < uj(σj, s-j)  Una estrategia sj es débilmente dominada para el jugador j si para toda combinación de estrategias s-j de los demás jugadores, existe una estrategia mixta σj para el jugador j tal que: uj(sj, s-j) ≤ (uj(σj, s-j)  Es posible que una estrategia sj no sea dominada por otra estrategia pura, pero si lo sea por una estrategia mixta. Si una estrategia sj domina a las demás estrategias pura, también domina a cualquier estrategia mixta. Es posible redefinir el proceso de eliminación iterativa para incorporar estrategias dominadas por estrategias mixtas.  

Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas

Definición Dado el juego estratégico ΔG = [ J, Δ(Sj), Uj ] ,  una combinación de estrategias σ* es un equilibrio de Nash si para toda estrategia σj indiferente a σj* del jugador j se cumple que: Uj (σj*, σ-j*) ≥ Uj(σj, σ-j*) Mejor Respuesta Dado un juego estratégico ΔG = [ J, Δ(Sj), Uj ] , y para cada jugador j se define a BRj(σ-j) como el conjunto de estrategias del jugador j que representan la mejor respuesta de dicho jugador, para cualquier combinación de estrategias σ-j de los demás jugadores tal que: BRj(σ-j) = {σj, donde para todo σ'j , Uj (σj, σ-j) ≥ Uj(σj, σ-j)}. Alternativamente: BRj(σ-j) = arg max Uj(σj, σ-j) Dado un juego estratégico ΔG = [ J, Δ(Sj), Uj ] , una combinación de estrategias σ* es un equilibrio de Nash si para jugador j se cumple que σ*j pertenece a BRj(σ-j*)  

Existencia del Equilibrio de Nash

El juego estratégico G = [ J, Sj, uj ] tiene al menos un equilibrio de Nash si para todo jugador j se cumple que: Sj es un subconjunto convexo, compacto  no vacío en RMj, y uj es una función continua y cuasicóncava en Sj. En todo juego estratégico finito ΔG = [ J, Δ(Sj), Uj ] existe al menos un equilibrio de Nash. En casi todo juego estratégico finito ΔG = [ J, Δ(Sj), Uj ] existe un número finito e impar de equilibrios de Nash