DIDACTICA DE LA MATEMATICA COMO DISCIPLINA CIENTIFICA

1.- Relaciones entre la Psicología, Didáctica General y la Didáctica de la Matemática Definición etimológica de la Psicología, Didáctica y Didáctica de la Matemática La psicología según la Real Academia Española "Es la ciencia que trata la materia del alma o sea todo lo relacionado con el espíritu". La palabra psicología viene del griego Psico: ψυχή (psyche=alma) y λογία (logia=del estudio de). La psicología estudia los procesos mentales de los individuos y tiene muchos enfoques como la percepción, la atención, la motivación, la emoción, el funcionamiento del cerebro, la inteligencia, el pensamiento, la personalidad, las relaciones personales, la conciencia y la inconciencia. (Diagrama 1.1)

2.- Escuelas, Corrientes y/o Concepciones sobre la Didáctica de las Matemáticas 2.1 Escuela Francesa de la Matemática La didáctica de la Matemática o educación matemática es una disciplina científica cuyo objetivo de estudio es la relación entre los saberes, la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos propios de la matemática. Tiene su origen en Francia con la denominada "Escuela Francesa de la Didáctica de la Matemática" postulada en los años 70 cuyos pioneros son Guy Brosseau, Gerad Vernaud e Yves Chevallard, entre otros. Ellos ha contribuido a una concepción llamada por sus autores "fundamental" de la didáctica, que presenta caracteres diferenciales respecto de otros enfoques: concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la matemática y a teorías específicas de aprendizaje, y búsqueda de paradigmas propios de investigación, en una postura integradora entre los métodos cuantitativos y cualitativos. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor, dentro del contexto particular de la clase. Para (Brosseau 1989) la didáctica se presenta como "Una Ciencia que se interesa por la producción y comunicación de los conocimientos", el verdadero objetivo de la didáctica es la construcción de una Teoría de los procesos didácticos que nos proporcionan el dominio practico de los fenómenos de la clase. (Chevallard, 1980). La didáctica sistematiza las prácticas de la enseñanza de las matemáticas. Esta disciplina surgió con la reacción posterior al fracaso de la denominada "Matemática Moderna" en los años 60. La didáctica comienza al establecimiento de conceptos y metodologías tanto para producir conocimiento acerca de los fenómenos como para dar un carácter metódico a la acción del profesor en el aula. Los fenómenos se conciben desde una perspectiva sistémica. Este proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se llevan a cabo dentro de un sistema didáctico que básicamente se compone de elementos: Profesor, estudiante, conocimiento Matemático y las relaciones que tienen entre ellos. La visión del aprendizaje se sostiene bajo una teoría epistemológica Piagetiana. Los investigadores de la disciplina sostienen un consenso sobre la relación que tiene esta disciplina con la naturaleza y la relación que tiene con el proceso de enseñanza y aprendizaje. Se pudiera percibir como la interacción entre el sujeto medio que permite al sujeto realizar una serie de acciones conducentes a la construcción de un conocimiento matemático. Esta situación es motivada por un agente didáctico que crea una situación de aprendizaje que es el espacio para la relación del sujeto y medio. G. Brousseau, propuso la teoría de las situaciones: Formulada en su primera fase a principios de los setenta, desarrollada en una segunda fase hasta la publicación de la tesis de Brousseau y seguida por los aportes de Chevallard (1990) en términos de instituciones y de las relaciones con el saber. Brousseau establece que: “La didáctica de la matemática estudia las actividades didácticas, es decir las actividades que tienen por objeto la enseñanza, evidentemente en lo que ellas tienen de específico de la matemática”. Los resultados, en este dominio, son cada vez más numerosos; tratan los comportamientos cognitivos de los alumnos, pero también los tipos de situaciones empleados para enseñarles y sobre todo los fenómenos que genera la comunicación del saber. La producción o el mejoramiento de los instrumentos de enseñanza encuentra aquí un apoyo teórico, explicaciones, medios de previsión y de análisis, sugerencias y aun dispositivos y métodos. A continuación, se presentaran los principales términos involucrados en la teoría de Brousseau (...) la teoría de situaciones estudia: la búsqueda y la invención de situaciones características de los diversos conocimientos matemáticos enseñados en la escuela, el estudio y la clasificación de sus variantes, la determinación de sus efectos sobre las concepciones de los alumnos, la segmentación de las nociones y su organización en procesos de aprendizaje largos, constituyen la materia de la didáctica de las matemáticas y el terreno al cual la teoría de las situaciones provee de conceptos y de métodos de estudio. Para los profesores como para los alumnos, la presentación de los resultados de estos trabajos renueva su conocimiento así como la idea que tienen de las matemáticas, y esto incluso si es necesario desarrollar todo un vocabulario nuevo para vincular las condiciones en las que emergen y se enseñan las nociones matemáticas básicas, con la expresión de dichas nociones en la cultura matemática clásica. Los didactas que comparten esta concepción de la didáctica relacionan todos los aspectos de su actividad con las matemáticas. Se argumenta, para basar ese enfoque, que el estudio de las transformaciones de la matemática, bien sea desde el punto de vista de la investigación o de la enseñanza, siempre ha formado parte de la actividad del matemático, de igual modo que la búsqueda de problemas y situaciones que requieran para su solución una noción matemática o un teorema. LA TEORÍA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS G. Brousseau define que una situación didáctica: es un conjunto de relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre un alumno o un grupo de alumnos, algún entorno (que puede incluir instrumentos o materiales) y el profesor, con un fin de permitir a los alumnos aprender esto es, reconstruir algún conocimiento. Las situaciones son específicas del mismo. Para que el alumno "construya" el conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la resolución del problema planteado en la situación didáctica. En este caso se dice que se ha conseguido la devolución de la situación al alumno. El proceso de resolución del problema planteado se compara a un juego de estrategia o a un proceso de toma de decisiones. Una situación funciona de manera “adidáctica” cuando el alumno y el maestro logran que el primero asuma el problema planteado como propio, y entre en un proceso de búsqueda autónomo, sin ser guiado por lo que pudiera suponer que el maestro espera. Por otro lado, debido a la peculiar característica del conocimiento matemático, que incluye tanto conceptos como sistemas de representación simbólica y procedimientos de desarrollo y validación de nuevas ideas matemáticas, es preciso contemplar varios tipos de situaciones: · SITUACIONES DE ACCIÓN, sobre el medio, que favorecen el surgimiento de teorías (implícitas) que después funcionarán en la clase como modelos proto-matemáticos. · SITUACIONES DE FORMULACIÓN, que favorecen la adquisición de modelos y lenguajes explícitos. En estas suelen diferenciarse las situaciones de comunicación, que son las situaciones de formulación que tienen dimensiones sociales explícitas. · SITUACIONES DE VALIDACIÓN, requieren de los alumnos la explicitación de pruebas y por tanto explicaciones de las teorías relacionadas, con medios que subyacen en los procesos de demostración. · SITUACIONES DE INSTITUCIONALIZACIÓN: que tienen por finalidad establecer y dar un status oficial a algún conocimiento aparecido durante la actividad de la clase. En particular se refiere al conocimiento, las representaciones simbólicas, etc., que deben ser retenidas para el trabajo posterior. El proceso de INSTITUCIONALIZACIÓN Es un proceso de aprendizaje por adaptación, cuando los alumnos logran desarrollar una estrategia que resuelve el problema, el conocimiento que subyace a este no se les revela como un nuevo saber: si pudieron resolver el problema, es, para ellos, porque sabían hacerlo. Los alumnos no tienen la posibilidad de identificar por sí mismos la presencia de un nuevo conocimiento, y menos aún el hecho de que dicho conocimiento corresponde a un saber cultural. Este acontecimiento es lo que denominamos obstáculos. Un OBSTÁCULO es una concepción que ha sido en principio eficiente para resolver algún tipo de problemas pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su éxito previo se resiste a ser modificado o a ser rechazado: viene a ser una barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por medio de los errores específicos que son constantes y resistentes. Para superar tales obstáculos se precisan situaciones didácticas diseñadas para hacer a los alumnos conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones y para ayudarlos a conseguirlo. Brousseau (1983) da las siguientes características de los obstáculos: · Un obstáculo es un conocimiento, no una falta de conocimiento; · El alumno utiliza este conocimiento para producir respuestas adaptadas en un cierto contexto que encuentra con frecuencia; · Cuando se usa este conocimiento fuera de este contexto genera respuestas incorrectas. Una respuesta universal exigiría un punto de vista diferente; · El alumno resiste a las contradicciones que el obstáculo le produce y al establecimiento de un conocimiento mejor. Es indispensable identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber; · Después de haber notado su inexactitud, continúa manifestándolo, de forma esporádica. Se distinguen los siguientes TIPOS DE OBSTÁCULOS: · Obstáculos ontogenéticos: llamados también obstáculos psicogenéticos: se deben a las características del desarrollo del niño. · Obstáculos didácticos: resultan de las elecciones didácticas hechas para establecer la situación de enseñanza. · Obstáculos epistemológicos: intrínsecamente relacionados con el propio concepto. Evidenciado por medio de un análisis histórico, tal tipo de obstáculo debe ser considerado como parte del significado del concepto. Por tanto, encontrarlo y superarlo parece ser una condición necesaria para la construcción de una concepción relevante. Frente a la teoría psicológica que atribuye los errores de los alumnos a causas de tipo cognitivo, se admite aquí la posibilidad de que tales errores puedan deberse a causas epistemológicas y didácticas, por lo que la determinación de este tipo de causas proporciona una primera vía de solución. En La formación del espíritu científico, Bachelard (1938) establece la idea de obstáculo epistemológico, el cual debe comprenderse como el efecto limitativo de un sistema de conceptos sobre el desarrollo del pensamiento, y da un listado extenso de los mismos, que impiden que un modo de pensamiento precientífico conciba asimismo el enfoque científico. Brousseau se basa en esta idea al analizar el aprendizaje. Si el aprendizaje lo entendemos como adaptación al medio, esto implica necesariamente rupturas cognitivas, acomodaciones, cambio de modelos implícitos (concepciones), de lenguajes, de sistemas cognitivos. Si se obliga a un alumno o a un grupo a una progresión paso a paso, el mismo principio de adaptación puede contrariar el rechazo, necesario, de un conocimiento inadecuado. Las ideas transitorias resisten y persisten. Estas rupturas pueden ser previstas por el estudio directo de las situaciones y por el indirecto de los comportamientos de los alumnos (Brousseau, 1983). Otro concepto teórico central de la teoría de las situaciones didácticas es El CONTRATO DIDÁCTICO se define como un conjunto de reglas con frecuencia no enunciadas explícitamente que organizan las relaciones entre el contenido enseñado, los alumnos y el profesor dentro de la clase de matemática (Brousseau, 1986). Los estudios sobre el contrato didáctico y sus relaciones con los procesos de aprendizaje son esenciales, ya que lo que está en juego es el significado real del conocimiento construido por los alumnos. “Recordemos que el contrato didáctico institucional (Chevallard 1992) está formado por un conjunto de cláusulas que distribuyen las responsabilidades recíprocas en el juego que se establece en cada institución docente entre los estudiantes, el conocimiento matemático y el profesor, como director del proceso de estudio. Las cláusulas del contrato tienen un carácter marcadamente implícito (el contrato siempre está presente, pero no se puede explicitar) y no rigen todos los aspectos de la relación que se establece entre los estudiantes y el profesor, sino únicamente los que hacen referencia al conocimiento matemático a estudiar”. La teoría antropológica de lo didáctico Recientemente, Chevallard (1989) ha adoptado una posición de notable generalidad para los estudios de didáctica. Desde una perspectiva antropológica, la didáctica de la matemática sería el estudio del hombre las sociedades humanas aprendiendo y enseñando matemática. Plantea que el objeto principal de estudio de la didáctica de la matemática está constituido por los diferentes tipos de sistemas didácticos formados por los subsistemas: docentes, alumnos y saber enseñado que existan actualmente o que puedan ser creados, por ejemplo, mediante la organización de un tipo especial de enseñanza. Sintetizando algunas características de esta perspectiva, Bosch, Fonseca, Gascón expresan: El modelo que propone actualmente la Teoría Antropológica de lo Didáctico (en adelante TAD), describe el conocimiento matemático en términos de organizaciones o praxeologías matemáticas cuyos componentes principales son tipos de tareas, técnicas, tecnologías, y teorías. Recordemos que las organizaciones matemáticas se componen de un bloque práctico o ‘saber-hacer’ formado por los tipos de tareas y las técnicas, y por un bloque teórico o ‘saber’ formado por el discurso tecnológico-teórico que describe, explica y justifica la práctica docente. El problema central de la didáctica es para Chevallard el estudio de la relación institucional con el saber, de sus condiciones y de sus efectos, considerando el conjunto de condicionantes cognitivos, culturales, sociales, inconscientes, fisiológicos del alumno, que juegan o pueden jugar un papel en la formación de su relación personal con el objeto de saber en cuestión. LA TEORÍA DE LA TRASPOSICIÓN DIDÁCTICA La relatividad del saber a la institución en que se presenta lleva al concepto de TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA (Chevallard, 1985), el cual se refiere a la adaptación del conocimiento matemático para transformarlo en conocimiento para ser enseñado. Tomando un texto de dicho autor, él mismo nos describe este concepto que consideramos esencial para la didáctica8: ¿Qué es la transposición de los saberes? O, mejor dicho: ¿por qué hay transposición de los saberes? La respuesta es a priori muy simple y se puede explicitar en algunos puntos. Primer punto: los saberes nacen y crecen en ciertos “lugares” determinados de la sociedad. (La producción de los saberes es algo complejo, que supone una “ecología” particular.) Segundo punto: las necesidades sociales hacen que los saberes producidos deban vivir también en otros lugares de la sociedad. (La cosa es todavía más compleja y oscura: así, casi cada objeto de uso cotidiano “contiene” hoy día, de manera invisible para el usuario, matemáticas “cristalizadas”, y un montón de otros saberes más.) Tercer punto: para poder vivir “lejos” de sus lugares de producción, los saberes sufren transformaciones que los adaptan a las ecologías “locales” correspondientes. (De este modo, los objetos matemáticos que manipulan ingenieros, economistas o geógrafos deben empezar a vivir “en asociación” con otros objetos, que el matemático ignora y que, por lo menos culturalmente, parecen propios de estos ámbitos específicos de la práctica social.) El esquema anterior define de manera muy amplia los procesos sociales de transposición. Hablaremos al respecto de transposición institucional de los saberes. Porque los “lugares” mencionados más arriba son instituciones: tal saber, que vive en tal institución, se transpone en otra institución. Cuando un saber se transpone en una institución para ser estudiado, hablaremos de transposición didáctica. (El adjetivo didáctico corresponde aquí al sustantivo estudio.) El ejemplo de la Escuela es, en este caso, fundamental, aunque no sea único. Porque ni las matemáticas, ni la gramática por ejemplo, han sido “producidos” para los niños y niñas. Sin embargo, estos saberes viven más o menos, mejor o peor en la escuela de hoy día. Para estar presentes, para poder ser estudiados, se requiere una transposición, que supone a su vez un inmenso trabajo transpositivo. El estudio de la transposición didáctica se preocupa, entre otras cuestiones, de detectar y analizar esta clase de diferencias y hallar las causas por las cuales se han producido, con objeto de subsanarlas y evitar que la enseñanza transmita significados inadecuados sobre los objetos matemáticos. Chevallard y Johsua (1982) describen el SISTEMA DIDÁCTICO, formado esencialmente por tres subsistemas: PROFESOR, ALUMNO y SABER ENSEÑADO. Un aporte de la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD) al estudio de los procesos de aprendizaje de las matemáticas en el contexto escolar es la inclusión, en el clásico triángulo didáctico “maestro, alumno, saber”, de un cuarto elemento: el medio. EL MEDIO (MILIEU) se define como el objeto de la interacción de los alumnos: es la tarea específica que deben llevar a cabo, y las condiciones en que deben realizarla, es decir, el ejercicio, el problema, el juego, incluyendo los materiales, lápiz y papel u otros. En una acepción un poco más amplia, el medio al que el alumno se enfrenta incluye también las acciones del maestro, la consigna que da, las restricciones que pone, las informaciones y las ayudas que proporciona, y podríamos agregar, las expectativas que tiene sobre la acción de los alumnos y que mediante mecanismos diversos, transmite. Es decir, es el subsistema sobre el cual actúa el alumno (materiales, juegos, situaciones didácticas, etc.). Además está el mundo exterior a la escuela, en el que se hallan la sociedad en general, los padres, los matemáticos, etc. Pero, entre los dos, debe considerarse una zona intermedia, la NOOSFERA, que, integrada al anterior, constituye con él el sistema didáctico en sentido amplio, y que es lugar, a la vez, de conflictos y transacciones por las que se realiza la articulación entre el sistema y su entorno. La noosfera es por tanto: "la capa exterior que contiene todas las personas que en la sociedad piensan sobre los contenidos y métodos de enseñanza". Estos conceptos tratan de describir el funcionamiento del sistema de enseñanza y de los sistemas didácticos en particular como dependientes de ciertas restricciones y elecciones. Asimismo, tratan de identificar dichas restricciones y poner de manifiesto cómo distintas elecciones producen modos diferentes de aprendizaje desde el punto de vista de la construcción por los alumnos de los significados de las nociones enseñadas. La teoría que estamos describiendo, en su formulación global, incorpora también una visión propia del aprendizaje matemático, aunque pueden identificarse planteamientos similares sobre aspectos parciales en otras teorías. Se adopta una perspectiva piagetiana, en el sentido de que se postula que todo conocimiento se construye por interacción constante entre el sujeto y el objeto, pero se distingue de otras teorías constructivistas por su modo de afrontar las relaciones entre el alumno y el saber. El punto de vista didáctico imprime otro sentido al estudio de las relaciones entre los dos subsistemas (alumno-saber). El problema principal de investigación es el estudio de las condiciones en las cuales se constituye el saber, pero con el fin de su optimización, de su control y de su reproducción en situaciones escolares. Esto obliga a conceder una importancia particular al objeto de la interacción entre los dos subsistemas, que es precisamente la situación-problema y la gestión por el profesor de esta interacción. Los matemáticos constituyen un cuerpo de saberes que se caracteriza por sus formulaciones en esencia axiomática. Sin embargo la presentación de estos saberes en el salón de clases deja a un lado gran parte de su proceso de construcción y de sus características. “El conocimiento matemático de la clase no es el mismo que el saber de los matemáticos” El saber de los matemáticos es el resultado de una transformación que sucede sobre el conocimiento matemático de la clase y se le denomina Transposición didáctica. El matemático produce conocimiento que depure, descontextualiza y destemporaliza lo mas posible. Una vez ese estado, comunica los resultados de su investigación. Quien recibe la información debe comprender dichos resultados de manera que el mismo pueda reconstruir el camino de creación y pueda comprenderlos para utilizarlos. Estos receptores entonces transforman los resultados los reformulan, aplican y generalizan según sus necesidades. Y muchas veces los destruyen por encontrarlos inútiles o insuficientes o porque los incorporan a otros mas amplio o porque simplemente los olvidan. El estudiante: la actividad del estudiante es comparable con la del matemático en tanto saber matemáticas, implica conocer las definiciones, teoremas y reglas para aplicarlos en la solución de problemas. Esto requiere que el estudiante actúe, formule, prueba, construye modelos, lenguajes, teorías y que las intercambie con otro que hacen parte de su cultura. El profesor, debe proponer a los estudiantes situaciones en las que los conocimientos aparezcan como una forma de solucionar problemas. Por eso, el trabajo del profesor es contrario al del Matemático. El Profesor debe redecontextualizar y redepersonalizar los conocimientos para que ellos puedan tener sentido para el estudiante y se acerquen mas al saber matemático. TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES Los conceptos matemáticos se dotan de significado a partir de una variedad de situaciones; cada situación no puede ser analizada usualmente con la ayuda de un solo concepto sino que precisa varios de ellos. Vergnaud (1990) ha realizado el estudio de la enseñanza y aprendizaje de campos conceptuales, esto es, grandes conjuntos de situaciones cuyo análisis y tratamiento requiere varios tipos de conceptos, procedimientos y representaciones simbólicas que están conectadas unas con otras. Como ejemplos de tales campos conceptuales pueden citarse las estructuras aditivas, estructuras multiplicativas, la lógica de clases y el álgebra elemental. A estas nociones habría que añadir otras como las del juego de cuadros y dialéctica útil objeto (Douady, 1986), ingeniería didáctica, reproductibilidad (Artigue, 1989). La exposición sintética que hemos hecho de algunas de las nociones teóricas desarrollas por los didactas franceses -que comprende un colectivo de una centena de investigadores puede ser un camino para que la Escuela Francesa de Didáctica de la Matemática se constituya en un "núcleo firme" de conceptos teóricos en el sentido de Lakatos, que sirva de soporte de un programa de investigación. Su capacidad de plantear nuevos problemas de investigación, y de enfocar los problemas clásicos, está siendo puesta de manifiesto a través de la producción científica de todo el colectivo de investigadores. Nociones como las de transposición didáctica, contrato didáctico, obstáculo, se utilizan cada vez con mayor frecuencia en las publicaciones en revistas y actas de congresos internacionales de la especialidad.

Palabras, frases y parrafos claves La enseñanza y el aprendizaje se realizan por medio de la interaccion entre el profesor y el estudiante; y el conocimiento se presenta en el juego de proposicion de un problema y formulacion de una solucion al mismo.