Grundlagen der Stochastik - Zusammenfassung

Einführung in die WahrscheinlichkeitsrechnungViele Menschen wünschen sich, Ereignisse vorhersagen zu können. Nur ein kleines Beispiel: "Kopf oder Zahl?" heißt es oftmals, wenn eine Münze geworfen wird. Auf welcher der beiden Seiten die Münze landet, wisst ihr natürlich nicht. Nur eine Wahrscheinlichkeit kann angegeben werden. Es gibt zwei Seiten: Kopf oder Zahl. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für Wappen 1/2 und für Münze auch 1/2. Und das bringt uns zum Ereignisbaum.

Die erste Spalte zeigt das Ergebnis an. In der zweiten Zeichnen wir die Anzahl ein, die wir dann für die Spalte ganz rechts abzählen. In unserem Fall wurden 17 mal Wappen und 13 mal Zahl geworfen. Es gab also 30 Wurfversuche. Sicherlich fragen sich jetzt einige: Wieso ist die Anzahl von Wappen und Zahl nicht gleich? Schließlich haben wir die Wahrscheinlichkeit mit 1/2 für Wappen und Zahl angegeben. Somit hätten wir bei 30 Versuchen eigentlich 15 Wappen und 15 Zahl erreichen müssen? Die Antwort: Wir geben hier eine Wahrscheinlichkeit an. Würden wir statt 30 Versuchen nun 300 Versuche machen, würden wir recht nahe an eine gleiche Verteilung ran kommen. Ihr solltet also sehr viele Versuche durchführen, um ein gutes Ergebnis zu bekommen.Noch ein paar Definitionen: Beschreibt man ein Zufallsexperiment durch Ausprobieren, so nimmt man eine Stichprobe. Der Umfang der Stichprobe ist die Anzahl N, in unserem Beispiel 30. Die Anzahl des Ereignisses wird "Häufigkeit eines Ereignisses" genannt. Die Summe aller Häufigkeiten wird als n(e) bezeichnet und ist so groß wie die Anzahl N der Stichprobe. Zu dem hat man noch die relative Häufigkeit definiert. Es gilt der folgende Zusammenhang:Formel: h(e) = n(e) : N "h(e)" wird als relative Häufigkeit bezeichnet "n(e)" ist die absolute Häufigkeit "N" ist der Umfang der Stichprobe

Absolute / Relative HäufigkeitDer Begriff "absolute Häufigkeit" ist gleichbedeutend mit dem umgangssprachlichen Begriff Anzahl. Ein kleines Beispiel sollte dies verdeutlichen: Bei einer Umfrage werden 500 Personen nach ihrem Alter befragt. Bei der Auszählung stellt man fest, dass 200 Personen in die Klasse "von 10 Jahre bis 20 Jahre" fallen. Damit ist die absolute Häufigkeit dieser Klasse 200. Kennt man nur die absolute Häufigkeit , ist es meistens unmöglich einzuschätzen, ob die Zahl wirklich groß ist oder nicht. Aus diesem Grund gibt es noch den Begriff der "relativen Häufigkeit".Bei der relativen Häufigkeit - manchmal auch bedingte Häufigkeit genannt - bezieht man die absolute Häufigkeit auf die Gesamtzahl. Beispiel: Bei der Auszählung stellt man fest, dass 200 Personen in die Klasse "von 10 Jahre bis 20 Jahre" fallen. Damit ist die absolute Häufigkeit dieser Klasse 200. Die relative Häufigkeit hingegen beträgt 200 : 500 = 0.4 = 40%. Durch die relative Häufigkeit wissen wir nun, dass 40 Prozent der Befragten im Alter zwischen 10 und 20 Jahren sind.

Laplace Experiment / Versuch Klären wir zunächst den Begriff Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Beispiel: Ein Würfel wird geworfen. Auf welcher Seite er landet, ist vor Abwurf des Würfels aus der Hand nicht zu sagen.Unter einem Laplace Experiment versteht man ein Zufallsexperiment, bei dem alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen. Man spricht hier oftmals von "gleichwahrscheinlich".

Laplace Experiment: Beispiele Woran erkennt man nun, ob es sich um einen Laplace Versuch handelt oder nicht? Die Frage ist oftmals nicht ganz so einfach zu beantworten und erfordert in vielen Fällen Vorkenntnisse auf dem entsprechenden Gebiet. Es folgen ein paar Beispiele: Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu Würfeln genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit die Zahl 6 zu Würfeln. Es handelt sich somit um ein Laplace Experiment / Versuch. Eine Münze hat zwei Seiten: Kopf und Zahl. Bei einer nicht manipulierten Münze ist die Wahrscheinlichkeit "Zahl" zu werfen genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit "Wappen" zu werfen. Somit handelt es sich um einen Laplace Versuch. Bei einem Pferderennen treten 10 Reiter samt Pferde gegeneinander an. Da sich die Fähigkeiten der Teilnehmer voneinander unterschieden, ist die Chance auf einen Sieg bei jedem Teilnehmer verschieden. Somit haben wir kein Laplace Experiment. An solche Aufgaben muss man Versuchen mit etwas gesunden Menschenverstand ran zu gehen. Hat man keinen Grund, das Eintreten irgendeines der Ergebnisse eines Zufallsexperiments für wahrscheinlicher als das der anderen Ergebnisse zu halten, so kann man erst einmal von einem Laplace Versuch ausgehen.

Berechnung von Laplace Versuchen Durch Einsatz der Laplace Regel kann man nun die Wahrscheinlichkeit für ein Laplace Experiment berechnen. Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ergebnisses berechnet sich nach der folgenden Formel:P(E) = Anzahl der günstigen Ereignisse / Anzahl der möglichen EreignisseBeispiel:Wir werfen einen sechsseitigen Würfel und möchten verschiedene Wahrscheinlichkeiten bei dem Versuch berechnen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu Würfeln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 1 oder 4 zu Würfeln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln? Lösung:Wir wissen, dass der Würfel sechs gleiche Seiten hat. Somit können als Ergebnis beim Würfeln die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen werden. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt somit "6". Kommen wir nun zu den drei Teilaufgaben: P({3}) = 1 : 6 = 0,1666... P({1, 4}) = 2 : 6 = 0,33333... P({2, 4, 6}) = 3 : 6 = 0,5

Urnenmodelle, Baumdiagramm & PfadregelnUnter einem Urnenmodell versteht man einen "Kasten", in dem sich Kugeln befinden. Aus dem Kasten werden nun - ohne das man reinsieht - Kugeln gezogen und deren Nummer notiert. Man unterscheidet grundsätzlich zwei verschiedene Versuche: Urnenmodell mit zurücklegen: Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Die Nummer wird aufgeschrieben und im Anschluss wird die Kugel wieder in die Urne geworfen. Die Anzahl der Kugel in der Urne bleibt somit gleich. Urnenmodell ohne zurücklegen: Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Die Nummer wird aufgeschrieben und im Anschluss wird die Kugel weggeworfen. Bei jeder Ziehung reduziert sich somit die Anzahl der Kugeln in der Urne.

Urnenmodell mit zurücklegen Für das Urnenmodell mit zurücklegen gilt: Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Die Nummer wird aufgeschrieben und im Anschluss wird die Kugel wieder in die Urne geworfen. Die Anzahl der Kugeln in der Urne bleibt somit gleich. Folgende Regel gilt für diesen Fall: Wird aus einer Urne mit n Kugeln die Anzahl k Kugeln entnommen, so ergeben sich g = nk Möglichkeiten für eine geordnete Stichprobe.

Urnenmodell ohne zurücklegen Für das Urnenmodell ohne zurücklegen gilt: Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Die Nummer wird aufgeschrieben und im Anschluss wird die Kugel weggeworfen. Bei jeder Ziehung reduziert sich somit die Anzahl der Kugeln in der Urne. Folgende Regel gilt für diesen Fall: Wird aus einer Urne mit n Kugeln der Umfang n entnommen - sprich es werden alle Kugeln gezogen - so ergeben sich g = n! Möglichkeiten für eine geordnete Stichprobe.

Das Bernoulli - Experiment Als Bernoulli - Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei denen sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden. Wir haben also einen Zufallsversuch, das nur zwei Ergebnisse kennt. Beispiel:Eine Münze wird geworfen. Die Münze kann auf Kopf oder Zahl fallen, es gibt somit nur zwei mögliche Ergebnisse. Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor.Die Summe der beiden Möglichkeiten bei einem Bernoulli-Experiment muss stets 1 betragen. Für die Münze hat sowohl das Wappen als auch die Zahl die Wahrscheinlichkeit 0,5.

Die Bernoulli - Kette Wird ein Bernoulli - Experiment immer mit denselben Bedingungen n-mal hintereinander durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli - Kette.Beispiel:Eine Münze wird 20mal hintereinander geworfen. Wir haben somit ein Bernoulli - Experiment, welches n = 20 mal hintereinander durchgeführt wird.

ErfahrungswertFührt man einen Zufallsversuch sehr oft durch und bildet aus den Ergebnissen den ( gewichteten ) Mittelwert, so erhält man den Erwartungswert. Es folgt nun erst einmal die allgemeine Darstellung, die im Anschluss folgenden Beispiele dürften beim Verständnis jedoch deutlich mehr helfen.

Der Erwartungswert X sei eine endliche Zufallsgröße, welche genau die Werte Xi annehmen kann. Dabei hat dieser jeweils die Wahrscheinlichkeit P ( X = xi ). Dann berechnet sich die Erwartungswert nach der Formel:E(X) = x1 · P(X = X1 ) + x2 · P(X = x2 ) + ... + Xn · P(X = Xn )

Beispiel:Wir untersuchen im nun Folgenden einen Spielautomat. Der Einsatz pro Spiel kostet 1 Euro. Eine Tabelle informiert, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen ausgezahlten Betrag in Euro ist. Die Frage lautet: Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn ( Erwartungswert )?

Lösung: E(X) = 0 · 0,3 + 0,10 · 0,4 + 0,25 · 0,2 + 1,0 · 0,1 = 0,19Im Durchschnitt spuckt der Automat somit pro Spiel 0,19 Euro aus. Ein Spiel kostet 1 Euro. Somit verdient der Automatenbetreiber 81 Cent pro Spiel. Das Spiel ist totale Abzocke, denn der eingesetzte Einsatz ist so hoch wie der maximal auszahlbare Betrag.

Bedingte WahrscheinlichkeitVieles im Leben hängt von früheren Ereignissen ab. Beispiel: Ihr habt sehr gut für ein Fußball-Turnier trainiert. Dadurch steigen nun beim Turnier eure Chancen, dieses zu gewinnen. Solche Abhängigkeiten gibt es auch in der Mathematik und werden als "Bedingte Wahrscheinlichkeit" bezeichnet. An einem etwas ausführlicherem Beispiel möchten wir euch nun die bedingte Wahrscheinlichkeit näher erläutern.Beispiel:In der Medizin ist es seit längerem möglich, Menschen auf HIV zu testen. So ein Test ist jedoch nicht zu 100% zuverlässig. So kann es leider passieren, dass der Test das Ergebnis "HIV positiv" anzeigt, obwohl der Mensch kein HIV hat. Und umgekehrt kann ein HIV infizierter Mensch fälschlicherweise als nicht HIV-infiziert getestet werden.Die Tests sind in Zwischenzeit jedoch recht zuverlässig geworden: Bei 99,9% der tatsächlich Infizierten erfolgt eine positive Testreaktion. Nur bei 0,3% der nichtinfizierten Testpersonen wird fälschlich eine Infektion angezeigt. Es wird angenommen, dass 0,1 Prozent der Bevölkerung HIV-infiziert ist.Aufgabe: Zunächst soll eine Vierfeldertafel für die Aufgabe erstellt werden. Im Anschluss soll ein Baumdiagramm erstellt werden.Lösung: Dem Text entnehmen wir die entsprechenden Prozentangaben und erstellen mit diesen unsere Vierfeldertafel:

Für das Baumdiagramm wählen wir in der 1. Stufe das Vorliegen der Infektion bzw. in der 2. Stufe die Testreaktion. Aus diesem sehen wir, dass die Testreaktion vom vorliegen einer Infektion abhängig ist. Wir haben somit eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Biomialverteilung & BinomialkoeffizientStarten wir ganz kurz mit einer benötigen Definition: Als Bernoulli - Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei denen sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden. Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie beschreibt den wahrscheinlichen Ausgang einer Folge von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse haben, also die Ergebnisse von Bernoulli-Prozessen.Wenn das gewünschte Ergebnis eines Versuches die Wahrscheinlichkeit p besitzt, und die Zahl der Versuche n ist, dann gibt die Binomialverteilung an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich insgesamt k Erfolge einstellen. Unter diesen Voraussetzungen ist der Versuch ein Bernoulli-Versuch. Die Formel lautet wie folgt:

BinomialkoeffizientDer Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. Der Versuch wird dabei ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge durchgeführt.

Zusammenfassung der Grundlagen der Stochastik