Quantentheorie I

In der Quantenmechanik werden messbare Größen durch unitäre Operatoren dargestellt.

Die Eigenwerte unitärer Matrizen sind +1 oder -1

Hermitesche Operatoren haben keine rein imaginären Eigenwerte

Die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren bilden ein vollständiges Orthonormalsystem

Der Impulsoperator wird in der Ortsbasis mit \( \hbar i \vec\nabla \) dargestellt.

Ein im Impulsraum gaußförmiges Wellenpaket ist auch im Ortsraum gaußförmig und zerfließt im Laufe der Zeit. Seine geringste Ausdehnung hat es zum Zeitpunkt \(t = 0\)

Ist der Hamiltonoperator zeitunabhängig, kann die Schrödingergleichung in einen Ortsteil und einen zeitabhängigen Teil separiert werden.

Was gilt für die Wellenfunktion an einer Potentialstufe?

Bei einem 1d-Potential, das symmetrisch ist, sind die Eigenzustände \(\psi(x)\) symmetrisch

Was trifft auf die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators zu?

Harmonischer Oszillator: Der Erzeuger-Operator ist der adjungierte Operator des Vernichter-Operators.

Kohärente Zustände sind Eigenzustände zum Erzeugunsoperator

Was trifft auf kohärente Zustände zu?

Ebene Wellen sind im Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen

Die Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operators A, die im zugrundeliegenden Hilbertraum liegen, bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

Der Hamiltonoperator für den harmonischen Oszillator in einer Dimension lautet \( H = \frac{p^2}{2m} + \frac 1 2 m \omega^2x^2 \) wobei p und x nach dem Korrespondenz-Prinzip durch ihre Operatoren ersetzt werden.

Die stationäre Schrödingergleichung für den eindimensionalen harmonischen Oszillator ist in Ortsdarstellung einfacher zu lösen als in Impulsdarstellung.

Was trifft auf den Zeitentwicklungs-Operator zu?

Was trifft auf die Messung einer Observablen zu?

Was passiert, nachdem eine Messung am System durchgeführt wurde?

Ein Operator A ist ein skalarer Operator, wenn gilt: \([L_z,A]=0\) Also wenn er mit der z-Komponente des Drehimpulses kommutiert.

Ein Operator \(A_i\) ist ein Vektoroperator, wenn gilt: \([A_i,L_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk}A_k \)

Welcher Operator ist der Erzeuger der Zeit-Transformation (Zeitentwicklung)

Welcher Operator ist der Erzeuger der Raum-Translationen?

Die beiden Operatoren A und B sind kanonisch zueinander, wenn gilt: \([A,B]=\frac C i\mathbb 1\), wobei \(C\) eine Konstante ist.

Für den Radialteil der Wellenfunktion \(R(r)\) führt man bei einem Radialsymmetrischen Potential \(V(|r|)\) die Transformation \(u(r)=r\cdot R(r)\) ein. Die Normierung für \(u(r)\) lautet dementsprechend mit Jacobi-Determinante: \(\int_0^\infty r^2|u(r)|^2 \,\mathrm dr = 1\)