vektorielle Geometrie

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Punktabstandsformel	Image: Mathetest (binary/octet-stream)
Betrag eines Vektors	\[\left \| \vec{a} \right \| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\]
Spurpunkte	Sxy: z = 0; Sxz: y = 0; Syz: x = 0; r ausrechnen und einsetzten
Parallelität: Gerade + Gerade	Richtungssvektoren mg und mh sind vielfaches voneinander: \[\vec{m_{g}}* \vec{x} = \vec{m_{h}}\]
Parallelität: Gerade + Ebene	Richtungsvektor m der Gerade und Normalvektro n der Ebene sind orthogonal \[\vec{n} * \vec{m} = 0\]
Parallelität: Ebene h + Ebene g	1.) Die Normalvektoren (\[\vec{n}\]) der Ebenen sind kollinear (vielfaches) \[\vec{ng} * x = \vec{nh}\] 2.) ng ist orthogonal zu den Richtungsvektoren (\[\vec{v}, \vec{r}\]) der Ebene h \[\vec{ng} * \vec{vh} = 0\] \[\vec{ng} * \vec{rh} = 0\]
(Parallelität) echt parallel: Gerade + Gerade	(g = h) der Ortsvektor von g (\[\vec{OG}\]) ist Teil der Gerade h (Punktprobe, \[\vec{OG}\] in h einsetzten)
Orthogonalität: Gerade + Gerade	Skalarpordukt der Richtungsvektoren (\[\vec{u}, \vec{v}\]) ist null \[\vec{u} * \vec{v} = 0\]
Orthogonalität: Gerade + Ebene	Die Gerade mit dem Richtungsvektor \[\vec{r}\] verläuft parallel zum Normalvektor (\[\vec{n}\]) der Ebene Sie sind ein Vielfaches voneinander. \[\vec{r}* x = \vec{n}\]
Orthogonalität: Ebene + Ebene	Die Normalvektoren \[\vec{n}\] sind orthogonal \[\vec{ng}*\vec{nh} = 0\]
Skalarprodukt von \[\vec{a}= \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix}\] und \[\vec{b}= \begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix}\]	\[x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}*z_{2}\]
Winkel zwischen Vektoren \[\vec {a}, \vec{b}\]	\[\cos \varphi = \frac{\vec{a}* \vec{b}}{\left \| \vec{a} \right \| * \left \| \vec{b} \right \|}\]
Flächeninhalt eines Dreiecks / zwischen Vektoren. \[\vec{a}\] und \[\vec{b}\] spannen auf	A = \[\frac{1}{2}*\left \| \vec{a}\times\vec{b} \right \|\]
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der ... zu beiden ist	orthogonal
Flächeninhalt eines Parallelogramms \[\vec{a}\] und \[\vec{b}\] spannen auf	A = \[\left \| \vec{a}\times\vec{b} \right \|\]
Volumen eines Spats \[\vec{a}\] und \[\vec{b}\] spannen auf, \[\vec{c}\] geht in die Höhe	\[V = \left \| \left ( \vec{a} \right \times \vec{b} ) * \vec{c} \right \|\]
Volumen eines dreiseitigen Prismas \[\vec{a}\] und \[\vec{b}\] spannen auf, \[\vec{c}\] geht in die Höhe	\[V = \frac{1}{2}\left \| \left ( \vec{a}\times \vec{b} \right ) \vec{c} \right \|\]
Volumen einer dreiseitigen Pyramide \[\vec{a}\] und \[\vec{b}\] spannen auf, \[\vec{c}\] geht in die Höhe	\[V = \frac{1}{6}\left \| \left ( \vec{a}\times \vec{b} \right ) \vec{c} \right \|\]
Parametergleichung/Dreipunktgleichung	\[E: \vec{x} = \vec{a}+ \vec{r}(\vec{b}-\vec{a}) + \vec{s}(\vec{c}-\vec{a})\]
Normalengleichung	\[E: \left [ (\vec{x} - \vec{a}) \right ] * \vec{n} = 0\] \[\vec{x}\] = Vektor innerhalb der Ebene \[\vec{a}\] = Stützvektor der Ebene \[\vec{n}\] = Normalenvektor der Ebene
Parametergleichung Ep -- > Normalengleichung En	\[\vec{u}\], \[\vec{v}\] = Richtungsvektoren von Ep \[\vec{a}\] = Stützvektor von Ep \[\vec{n}\] = (\[\vec{u}\] x \[\vec{v}\]) \[En: \left [ (\vec{x} - \vec{a}) \right ] * \vec{n} = 0\]
Normalengleichung En --> Parametergleichung Ep	1.) Richtungsvektoren (\[\vec{u}\], \[\vec{v}\) für Ep aus \[\vec{n}\] errechnen : \[\vec{n} * \vec{v} = 0\]und \[\vec{n} * \vec{} = 0\] 2.) Stützvektor a aus Ep = Stützvektor \[\vec{n}\] für En \[E: \vec{x} = \vec{a}+\vec{r}\vec{u} + \vec{s}\vec{v}\]
Normalengleichung En --> Koordinatengleichung Ek	1.) Normalenvektor n übernehmen ax + by + cz = d 2.) Stützvektor \[\vec{a}\] einsetzten für a,b und c und d ausrechen
Koordinatengleichung Kn --> Normalengleichung En	1.) Normalenvektor ablesen 2.)\[\vec{n}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}= d\] werte für x,y und z berechnen (das ist dann Stützvektor \[\vec{a}\]) \[En: \left [ (\vec{x} - \vec{a}) \right ] \vec{n} = 0\]
Achsenabschnitte der Ebene	Ebene in Koordinatenform gleichsetzen (Gleichungssystem) und einsetzten in die Punkte Sx(x\|0\|0) Sy(0\|y\|0) Sz(0\|0\|z)
Achsenabschnittsgleichung	1.) Ebene in koordinatengleichung 2.) ax + by +cz = d \|/d 3.) \[E: \frac{x}{\frac{d}{a}}+ \frac{y}{\frac{d}{b}} + \frac{z}{\frac{d}{c}} = 1\]

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	Erstellt von Ann-Kathrine Buchmakowsky vor mehr als 4 Jahre