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Erstellt von David Bratschke
vor etwa 7 Jahre
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Frage | Antworten |
Was besagt die Gradformel zu dem Grad zweier miteinander multiplizierter Polynome? | Der Grad des Produkts ist gleich der Summe des Grades der Faktoren. (Potenzregel : Addition von Exponenten) |
Warum funktioniert die Polynomdivision? | Weil man Polynome wie natürliche Zahlen in ihre "Einzelteile" zerlegen kann: Es gibt zu je zwei Polynomen p und q ( q != 0 ), zwei eindeutig bestimmbare Polynome f und r gibt, sodass \( p = f q + r \) gilt. |
Was ist eine "Nullstelle" eines Polynoms? | Eine reelle Zahl r , durch welche das Polynom Null wird. r einsetzen ==> p(r) = 0 |
Angenommen, man kennt die Nullstelle eines Polynoms, wie kann man dann das Polynom umformen? | Man kann die Nullstelle in Form eines Faktors (x- \(x_0\) ) durch Polynomdivision "abspalten" und das Polynom dadurch in einzelne Faktoren zerlegen. |
Wieviele Nullstellen kann ein Polynom vom Grad n ≥ 0 maximal haben? | maximal n Nullstellen |
Was ist eine Polynomfunktion? | Eine Funktion, die sich aus einzelnen Polynomen zusammensetzt: wie z.B.: \( x^3 - 2x + 6 \) |
Was besagt der Identitätssatz für Polynomfunktionen? | Sind zwei Polynome gleich, so sind auch deren Funktionen gleich. ==> sind sie verschieden, dann auch Fkt. verschieden |
Was ist rationale Funktion? | Wenn sich eine Funktion sich aus einem Bruch bestehend aus zwei Polynomen zusammensetzt. |
Wann ist eine rationale Funktion nicht definiert? | Wenn das Polynom im Nenner 0 ist. ==> Division durch 0 |
Was ist der Grenzwert von \( a^{\frac{1}{n}} \) für alle a > 0 , n --> unendlich? | 1 |
Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Folge ( \( a^{r_n} \) ) für alle a > 0 und r \( \epsilon \) Q ? | Gegen \( a^r \) |
Zwei Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man .. ? | Die Exponenten addiert |
Zwei Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man ..? | Die Exponenten subtrahiert. |
Was ist das Produkt von zwei Potenzen (unterschiedlicher Basis) mit gleichem Exponent? | Das Produkt der Basen, hoch dem Exponent \( (a b)^p \) |
Wie werden zwei Potenzen mit gleichem Exponenten dividiert? | Die Basen durch einander teilen, und mit dem gemeinsamen Exponenten potenzieren. \( ( \frac{a}{b} \ |
Was ist die "(allgemeine) Potenzfunktion" ? (x >= 0) | Die Funktion : \( x^p \) Also eine Verallgemeinerung von z.B. \( x^2 \) |
Wie ist das Monotonieverhalten der allgemeinen Potenzfunktion, wenn der Exponent positiv ist? (x >= 0) | streng monoton wachsend. |
Wie ist das Monotonieverhalten der allgemeinen Potenzfunktion, wenn der Exponent negativ ist? (x >= 0) | streng monoton fallend |
ist p < q dann folgt für: \( a^p \) und \( a^q \) ? 1.) (a > 1) ? 2.) 0 < a < 1 ? | 1.) \( a^p < a^q \) 2.) \( a^p > a^q \) |
Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Potenzfunktion \( a^r \) für a > 0 und r \( \epsilon \) Q? | gegen \( a^r \) |
Warum ist ür a < 0 \( a^p \) nur für p \( \epsilon \) Z definiert? | Könnte p ein Bruch sein, dann wäre das die Wurzel einer negativen Zahl und diese existiert nicht. |
Für welche p ist der Ausdruck \( a^p \) bei a > 0 definiert? | Für alle p \( \epsilon \) R |
Was ist \( 0^p \) für p > 0 und für p < 0 ? | Für p > 0: \(0^p \) = 0 für p < 0: ist \( 0^p \) nicht definiert (Division durch 0) |
Wie ist die Exponentialfunktion definiert? | \( exp_a (x) \) = \( a^x \) |
Welches Monotonieverhalten \( a^x \) zeigt die Exponentialfunktion für a > 1 ? | sie ist streng monoton wachsend |
Welche Monotonieverhalten \( a^x \) zeigt die Exponentialfunktion für 0 < a < 1 | Sie ist streng monoton fallend |
wie lässt sich: exp ( x + y ) umschreiben? und warum? | zu exp (x) * exp (y), weil \( a^{x + y} = a^x * a^y \) (Potenzgesetze) |
Was ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion? | Die Logarithmusfunktion |
Welchen Rückgabewert liefert der Logarithmus? | Den Exponenten, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten. |
Was bedeutet der Ausdruck: \( log_2(8) \) ? | 2 hoch "was" ist gleich 8? |
Wie ist das Monotonieverhalten der Logarithmusfunktion für Basen größer 1 (a > 1)? | streng monoton wachsend |
Wie ist das Monotonieverhalten für Basen zwischen 0 und 1? | streng monoton fallend |
Was ist \( log_a (1) \) | 0 |
was ist \( log_a (a) \) ? | 1 |
ist a > 1 und x < 1, so ist: \( log_a (x) \) .. ? | < 0 |
ist a > 1 und x > 1, so ist: \( log_a (x) \) .. ? | > 0 |
Logarithmengesetze: Die Summe zweier Logarithmen log (a) + log (b) ist gleich ... ? | log (a * b) |
Logratihmengesetze: \( log \frac {a}{b} \) = ? | log (a) - log (b) |
Logarithmengesetze: \( log_a(x^p) \) = ? | p * \( log_a(x) \) |
Wie lässt sich die allgemeine Potenzfunktion durch die e-Funktion bzw. den Logarithmus ausdrücken? | \( x^a = e^{(a*ln(x))} \) |
Wie lässt sich eine Exponentialfunktion durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken? | \( exp_a(x) = a^x \) = exp (x ln a) |
Wie lässt sich jeder Logarithmus durch den natürlichen Logarithmus darstellen? \( log_a (x) \) = ? | durch den Quotienten aus ln(Ergebnis) durch ln (Basis) \( \frac{ln x} {ln a} \) |
Was ist: \( \lim\limits_{n -> \infty} log_a (x_n) \), wenn \(x_n\) eine reelle Folge mit Grenzwert x > 0 ist? | dann ist der Grenzwert : \( log_a(x) \) |
Was ist \( \lim\limits_{n -> \infty } (x_n^p)\), wenn \(x_n\) eine Folge positiver reeller Zahlen mit Grenzwert x > 0 ist? | \( x^p \) |
Was ist der Grenzwert der Folge: \( \frac{a^{x_n} - 1}{x_n} \) für n gegen unendlich? | ln a |
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