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Beschreibung
Karteikarten von David Bratschke, aktualisiert more than 1 year ago
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Erstellt von David Bratschke
vor mehr als 7 Jahre
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| Frage | Antworten |
| Was ist das Majorantenkriterium? | Wenn der Betrag der Glieder einer Reihe A stets kleiner gleich der Glieder einer anderen konvergenten Reihe B ist, dann ist A ebenfalls konvergent. |
| Wie lautet das Majorantenkriterium formal? | sei \( |a_n| \leq b_n \) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\) konvergent so konvergieren \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|\) und es gilt \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n\) |
| Was ist eine "Majorante"? | Eine konvergente Reihe, die zu einer anderen Reihe so in Relation steht, dass ihre Glieder stets größer gleich der Glieder der anderen Reihe sind. |
| Wie lautet das Majorantenkriterium für den allgemeinen Fall? | Ist B eine konvergente Reihe mit nicht negativen Gliedern und gilt fast immer: \( b_n \geq |a_n| \), so sind auch \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\) und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n|\) konvergent |
| Wozu dient das Minorantenkriterium? | Dazu die Divergenz einer Reihe zu zeigen. |
| Wozu dient das Majorantenkriterium? | Damit kann die Konvergenz einer Reihe gezeigt werden. |
| Wie lautet das Minorantenkriterium? | Ist B eine divergente Reihe mit nicht negativen Gliedern und gilt fast immer \( a_n ≥ b_n \) , so ist auch \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = A \) divergent. |
| Wann kann man aus dem Quotientenkriterium die Konvergenz einer Reihe folgern ? | Wenn gilt: \( \frac{a_{n+1}}{a_n} ≤ q \) für 0 < q < 1, so ist die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) konvergent |
| Nenne ein Beispiel für eine divergente Reihe bei der der Quotient des Quotientenkriteriums kleiner 1 ist. | Die harmonische Reihe. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) |
| Wozu dient das Wurzelkriterium? | dient dazu, die Konvergenz einer Reihe zu zeigen |
| Wann ist eine Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergent? | ist die n-te Wurzel des Betrages des n-ten Gliedes für fast alle Glieder der Reihe < q mit 0 < q < 1, so ist die Reihe konvergent. 0< q < 1 \( \wedge \sqrt[n]{|a_n|} ≤ q \) ==> Reihe konvergent |
| Nenne ein Beispiel für eine divergente Reihe, bei der der Wurzelausdruck des Wurzelkriteriums < 1 ist. | Die Reihe zu: \( a_n = \frac{1}{n} \) also wieder die harmonische Reihe. |
| Was ist die sogenannte "Wurzelfolge"? | Eine Folge von Gliedern des Wurzelausrucks aus dem Wurzelkriterium zu einer gegeben Folge \(a_n\) |
| Was ist die sogenannte Quotientenfolge? | Eine Folge aus den Quotientenausdrücken aus dem Quotientenkriterium zu einer gegebenen Folge \( (a_n) \) |
| Wie kann aus der Quotientenfolge bzw. der Wurzelfolge die Konvergenz einer Reihe gefolgert werden? | Wenn die Quotienten bzw. Wurzelfolge gegen einen Grenzwert \( \alpha \) < 1 konvergieren. |
| Wann kann aus der Quotienten bzw. Wurzelfolge die Divergenz einer Reihe gefolgert werden? | wenn diese gegen einen Grenzwert \( \alpha \) > 1 streben |
| Welche Folgerung lässt sich für die Konvergenz einer Reihe ziehen, wenn die Quotienten bzw. Wurzelfolge = 1 ist? | keine. |
| Wie wird folgende Reihe genannt? \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!} \) | Cosinusreihe |
| Aus welchen Exponenten und Fakultäten bestehen die Summanden in der Cosinusreihe? ( Abgesehen vom alternierenden Term: \( (-1)^n \) ) | Nur gerade Exponenten und Fakultäten. |
| Wie lautet die Formel für die Sinusreihe? | \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) |
| Welchen Exponenten und Fakultäten kommen in den polynomialen Termen der Sinusreihe vor? | ausschließlich ungerade Exponenten und Fakultäten. |
| Was ist die Binomialreihe? | Eine Reihe bestehend aus Binomialkoeffizienten und einem polynomialen Term \(x^n\): \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \) |
| Wann konvergiert die Binomialreihe? | für |x| < 1 und \( \alpha ≠ \N_0 \) |
| Wann divergiert die Binomialreihe? | für |x| > 1 und \( \alpha ≠ \N_0 \) |
| Was ist der Grenzwert der Binomialreihe für |x| < 1? | \( (1+x)^{\alpha} \) |
| Was ist eine alternierende Reihe? | Eine Reihe deren benachbarte Glieder immer wechselnde Vorzeichen haben. |
| Wozu dient das Leibnitzkriterium? | Um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu bestimmen. |
| Was besagt das Leibnitzkriterium? | ist \( (b_n) \) eine monoton fallende Nullfolge , so konvergiert die alternierende Reihe : \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \) |
| Welches Vorzeichen muss das erste Glied der Reihe haben, um das Leibnitzkriterium anwenden zu können? | Das ist egal. |
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