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Beschreibung
Karteikarten von David Bratschke, aktualisiert more than 1 year ago
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Erstellt von David Bratschke
vor etwa 7 Jahre
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| Frage | Antworten |
| Was besagt der 1. Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung? | Ist eine Funktion f integrierbar auf [a,b], so ist F(x) = \( \int_a^x f(t) dt \) und es gilt: F'(x) = f(x) , wenn f(x) stetig in [a,b] |
| Funktionen, die auf einem Intervall [a,b] stetig sind, sind dort auch ..? | integrierbar |
| Was ist das sog. "Unterintegral"? | Das Supremum aller Untersummen: sup{U(f, P) | P Partition von [a, b]} |
| Was ist das sogenannte "Oberintegral"? | Das Infimum aller Obersummen: inf{O(f, P) | P Partition von [a, b]} |
| Was besagt der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? | Ist f integrierbar auf [a,b] und g eine Stammfunktion von f: ==> \( \int_a^b f(x) dx = g(b) - g(a) \) |
| ist g'(x) = f und \( \int_a^b f(x) dx \) = g(b) - g(a) Wie schreibt kann man dann g(b)-g(a) noch schreiben? | Als : \( [g(x)]_a^b \) bzw. \( g(x) |_a^b \) |
| Wie funktioniert die partielle Integration? | man analysiert, ob man die Funkion als Produkt einer Funktion und einer Ableitung f(x)g'(x) darstellen kann. Dann bildet man die Differenz: \( f(x)g(x)|_a^b\) und zieht davon das Integral mit "vertauschten Rollen", also von f'(x) g(x) ab |
| Wie lautet die Formel für die partielle Integration? | \( \int_a^b f(x)g'(x) dx = \) \(f(x)g(x)|_a^b -\int_a^b f'(x)g(x) dx\) |
| Woher lässt sich die Regel für das partielle Integrieren herleiten? | Durch Umformung aus der Produktregel der Differentiation |
| Woher lässt sich die Substitutionsregel der Integration herleiten? | Aus der Kettenregel der Integration |
| Wie lautet die Substitutionsregel? | \( \int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du \) |
| Wann kann man die Substitutionsregel der Integration anwenden? | Bei verketteten Funktionen, bei denen noch ein Faktor "anhängt", der die Ableitung der inneren Funktion ist. |
| Wenn man g'(x) als dg(x) schreibt, wie lässt sich dann die Substitutionsregel darstellen? Was ist der Vorteil daran? | als: \( \int_a^b f(g(x))dg(x) = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du \) ist leichter zu merken..: einfach g(x) durch u, a durch g(a) und b durch g(b) ersetzen |
| Was ist der Flächeninhalt des Einheitskreises? Wie lässt sich das durch Integrale beweisen? | Pi, Indem man die Kreisformel \( x^2 + y^2 = 1 \) zu einer Funktion umformt, die einen Halbkreis oberhalb der x-Achse beschreibt: \( \sqrt{(1-x^2)} \) und dann den Flächeninhalt durch Integration ausrechnet |
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