3.4.1.- Algoritmes de càlcul3.4.2.- L’aritmètica informal 3.4.3.- Procés d’ensenyament de la suma3.4.4.-Algoritme de la suma portant-ne3.4.5.- Altres algoritmes per sumar3.4.6.- L’algoritme estàndard de la suma3.4.7.- Procés d’ensenyament de la resta
Slide 2
S'entén per algoritme un procediment que cal fer pas a pas i que
s’acaba.En ells, els nombres s’hi consideren descompostos en unitats,
desenes, centenes ... considerant les xifres separadament, en lloc de
tractar el número globalment.Gómez (1988) ddona deu caracteerístiques per als algoritmes de llapis i paper:
– 1) Escrits, romanen sobre el paper i poden ser corregits.– 2) Tothom els fa igual (procediment estàndard).– 3) Estan abreujats en amagar els passos que tenen a veure amb les propietats associativa, commutativa i distributiva.– 4) Són automàtics, no fa falta ni que siguin entesos.
– 5) Són simbòlics, no es refereixen al món real.
– 6) Són generals i vàlids per a qualsevol número.– 7) Són analítics i les xifres es manipulen separadament.
– 8) Sempre han estat utilitzats.
– 9) Funcionen sempre.
– 10) Són familiars, transmesos de generació en generació.
3.4.1. Algoritmes de càlcul
Slide 3
- Consideracions referents als algoritmes
Baroody (1988): «Se exige que los niños memoricen datos,
definiciones, procedimientos de cálculo, técnicas de medición,
etc….Como el cultivo y la evaluación de la comprensión
matemática, el razonamiento y la resolución de problemas son
difíciles, la educación masiva se centra en la enseñanza y la
evaluación de datos y técnicas matemáticas».
- Si els recursos són limitats i les classes nombroses, l’ensenyar
pràctica repetitiva de dades i tècniques resulta més còmode que la
construcció del coneixement i l’aptitud pel raonament.
- Per altra banda, avaluar dades i tècniques és més fàcil que
constatar el coneixement conceptual i la capacitat de raonament.
Slide 4
- S'entén per aritmètica informal qualsevol procediment de
càlcul no estàndard.
• L’aritmètica informal té un paper fonamental en
l’aprenentatge de les tècniques de càlcul definitives.- En general, després de presentar als alumnes una
operació en alguns contextos significatius, es passa a la
repetició d’exercicis de dades numèriques i tècniques
algorítmiques, sense tenir en compte la necessitat que
tenen els nens de dedicar temps a l’aritmètica informal.- Aportacions de C. Kamii (1985,1989 i 1994) sobre la
necessitat de treballar l’aritmètica informal en les aules:« ¿Por qué queremos que los niños reinventen la aritmética? Los
algoritmos de hoy son el resultado de siglos de construcción por
parte de matemáticos adultos. Al tratar de transmitir de una forma
prescrita los resultados de siglos de reflexión por parte de personas
adultas, privamos a los niños de la posibilidad de pensar por su
cuenta. Los niños de hoy inventan los mismos tipos de
procedimientos que inventaron nuestros antepasados y necesitan
pasar por un proceso similar de construcción para llegar a ser
capaces de comprender los algoritmos de los adultos. Los primeros
métodos de los niños son indiscutiblemente ineficaces. Sin
embargo, cuando los niños tienen libertad de pensar por su cuenta,
inventan procedimientos cada vez más eficaces, como hicieron
nuestros antepasados. Cuando tratamos de que los niños
pasen por alto el proceso constructivo, les impedimos
comprender la aritmética. » (Kamii, 1994).Kamii no només planteja la necessitat de l’aritmètica
informal per raons d'aprenentatge. El seu plantejament
és molt més radical, afirma fins i tot que ensenyar
algorismes és perjudicial.
• Ho fonamenta en tres raons:
– 1.- Els algorismes obliguen als nens a renunciar al
seu pensament numèric.
– 2.- Els algorismes transmeten de forma incorrecta el
valor relatiu de les xifres i dificulten el
desenvolupament del sentit numèric.
– 3.- Els algorismes obliguen als nens a dependre de la
distribució espacial de les xifres i del llapis i el paper.
3.4.2. L'aritmètica informal
Slide 5
Per tal d'esquematitzar el procés
d'ensenyament-aprenentatge de la
suma, graduant
-ne el nivell de
dificultat, podem considerar els punts
següents: a) Suma per reunió d'objectes
compresos entre el 0 i el 5.
Fem totes les sumes possibles
que tinguin com a resultat
quantitats iguals o menors a 5;
d'aquesta manera els alumnes
poden visualitzar les diferents
quantitats que fan servir per
sumar i imaginar
-se els problemes
que estan resolent.
1+1=2 / 2+1=3 / 3+1=4 / 4+1=5 / 5+0=5 / 1+2=3 / 2+2=4 / 3+2=5 / 4+0=4 / 1+3=4 / 2+0=2 / 3+0=3 / 1+4=4 / 1+0=1b) Suma per reunió
d'objectes compresos
entre el 0 i el 10.
Seguint el procés anterior,
fem primer les sumes amb
resultat menor o igual a 6,
després les de resultat menor
o igual a 7 i així fins arribar al
10.
3.4.3. Procés d’ensenyament de la suma
Slide 6
1.- Sumes amb resultats majors
que 10 i menors que 20. 2.- Sumes portant-ne.3.- Sumes de tres sumands
Hi ha dues teories sobre l’ensenyament-aprenentatge de l’algoritme
de la suma: 1) Procediments unitaris (suma per columnes), és el
procediment clàssic. Es proposa una aproximació gradual a
l’algoritme de la suma amb els passos següents :Sumes sense portar-ne amb nombres: d’una xifra, nombres de
dues xifres, nombres de tres xifres, . . .Sumes portant-ne en: les unitats, desenes, centenes,. . .2) Fuson proposa procediments
multiunitaris (comparació inicial i suma
final)El procediment d'afegir una unitat més al
següent ordre és el mateix en el cas de
les unitats, desenes o centenes.
Fuson proposa presentar les dues
opcions alhora.
* Procediment: suma les unitats. Si la
suma és més gran que 9, afegeix una
desena a les desenes ...
3.4.4.- Algoritme de la suma portant-ne
Slide 8
3.4.5.- Altres algoritmes per sumar
Diferents versions del algoritme en la suma 48 +25 : – ¿Quins d’aquests algoritmes afavoreix la comprensió de la mida d’un nombre? – ¿Quins d’aquests algoritmes afavoreix el càlcul mental?
Introduirem l'operació de restar abans de començar a treballar la numeració entre el 10 i el 20, és a dir, abans d'introduir les desenes. La resta es pot introduir a través de dues tipologies bàsiques de problemes: els que consideren la resta com a diferencia i els que la consideren com a operador. La resta com operador – Amb la resta com a operador volem calcular el resultat obtingut en treure una quantitat d'una altra quantitat donada – En aquest tipus d'operació tenim una quantitat fixa i mitjançant una acció la modifiquem, en aquest cas menjar.
La resta com a diferència Amb la resta com a diferencia es tracta de trobar allò que manca a una quantitat per arribar a una altra quantitat. – Per exemple: • He posat 3 ampolles en una caixa de 12 ampolles. Quantes ampolles em falten per completar la caixa? – Aquest tipus d'operació, més que no pas una substracció de fet és una addició, ja que el que fem per obtenir el resultat és buscar el nombre que sumat al subtrahend dóna el minuend.- Es més convenient fer la introducció a la resta amb enunciats que la considerin com a operador
Esquemàticament, el procés que proposem per a l'ensenyament de
la resta pot seguir una sèrie de passes com les que descrivim a
continuació:
– Abans d'arribar a l'estudi de la desena farem subtraccions com
les de les activitats de la imatge.
La resta portant – La resta portant és una de les dificultats més grans amb que ens
trobem en l'ensenyament de les operacions bàsiques. En
general, els nens i nenes de cicle inicial no tenen gaire capacitat
per entendre el raonament que justifica aquest algoritme.– Hi ha diversos recursos que podem utilitzar per tal de facilitar la
comprensió de l'algoritme de la resta portant. Però tots,
essencialment, es basen en un parell de propietats aritmètiques:
• la descomposició d'una desena en 10 unitats ,• la invariància d'una substracció si afegim la mateixa quantitat al
minuend que al subtrahend .– Restes
equivalents.
Afegim la mateixa
quantitat al
minuend i al
subtrahend– La descomposició
d'una desena en 10
unitats – La descomposició d'una desena en 10 unitats. Per representar un nombre,
utilitzem els blocs o material no estructurat, boletes,...
