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Created by David Bratschke
over 7 years ago
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Question | Answer |
Wann ist x ein Minimum bzw. kleinstes Element einer Menge M? (Teilmenge von R) | wenn gilt: x ≤ m für alle m aus M |
Wann ist x ein Maximum bzw. größtes Element einer Menge M (Teilmenge aus R)? | wenn gilt: x ≥ m für alle m aus M |
Was wird für ein Maximum und Minimum zusätzlich verlangt, außer dass diese größer bzw. kleiner als die anderen Elemente sind? | Dass sie ebenfall Teil der Menge selbst sind. |
Welche Eigenschaft muss eine Teilmenge von R haben, damit es ein Minimum bzw. Maximum geben kann? | Die Menge muss endlich und nicht leer sein. |
Was ist eine untere Schranke einer Menge M? | eine reelle Zahl a, die nicht Element der Menge M sein muss, die kleiner (bzw. gleich) als alle Elemente der Menge ist. |
Was ist eine obere Schranke einer Menge M? | Einen reelle Zahl b, (die nicht in M enthalten sein muss) zu der alle Elemente aus M kleiner bzw. gleich sind. |
Was ist das sogenannte Infimum? | Die größte untere Schranke einer Menge, d.h.: zu jedem positiven \( \epsilon \) existiert ein x \( \epsilon M\) mit: x < s + \(\epsilon \) |
Was ist das sogenannte Supremum? | Die kleinste obere Schranke einer Menge, d.h. zu jedem positiven \( \epsilon \) gibt es ein y \( \epsilon \) M mit: y > S - \( \epsilon \) |
Wie stehen das Maximum und das Supremum einer Menge in Zusammenhang? | Wenn M ein Maximum hat, ist dieses auch das Supremum. |
Wieviel Suprema gibt es zu einer Menge M? | Wenn eine Menge ein Supremum besitzt, dann ist dieses auch das Einzige. ==> Das Supremum ist eindeutig. |
Wie stehen das Minimum und das Infimum einer Menge M in Zusammenhang? | Wenn M ein Minimum besitzt, dann ist dieses auch das Infimum. |
Wieviele Infima kann eine Menge haben. | Nur eines. Das Infimum ist eindeutig. |
Wie werden Minimum und Maximum einer Menge bezeichnet? | mit "min (M)" und "max (M)" |
Wie werden Infimum und Supremum einer Menge bezeichnet? | mit "sup (M)" und "inf (M)" |
Was besagt das Supremumsprinzip? | Jede nicht leere nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum. |
Wo ist der Unterschied zwischen einer unteren Schranke und einem Minimum einer Menge? | Die Schranke muss nicht Teil der Menge sein. Das Minimum schon. |
Muss das Supremum Teil der Menge sein? | Nein, denn es ist ja "nur" die kleinste obere Schranke, diese kann auch außerhalb der Menge liegen. |
Was besagt das Infimumsprinzip? | Jede nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Infimum. |
Ergänze: Wenn jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge von R ein Supremum besitzt, dann besitzt jeder Dedekind’sche Schnitt ... ? | genau eine Trennungszahl |
Wie stehen das Supremumsprinzip und das Schnittaxiom in Verhältnis? | Sie sind äquivalent |
Welche Vorteile bieten jeweils das Schnittaxiom und das Supremumsprinzip? | Mit dem Supremumsprinzip kann man besser rechnen. Das Schnittaxiom ist anschaulicher. |
Was besagt der Satz des Archimedes? | Dass die Menge der natürlichen Zahlen nach oben beschränkt ist. |
Was besagt der Satz des Eudoxos? | Dass es zu jedem positiven \( \epsilon \) eine natürliche Zahl m gibt für die gilt: \( \frac{1}{m} < \epsilon \) |
wie sind die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen verteilt? | Q liegt dicht in R. d.h. zu jeder reellen Zahl gibt es in der beliebig wählbaren \( \epsilon \) -Umgebung zu dieser eine rationale Zahl r. a - \( \epsilon \) < r < a + \( \epsilon \) |
Was bedeutet "Q liegt dicht in R"? | Dass sich jede reelle Zahl beliebig gut durch rationale Zahlen annähern (approximieren) lässt. |
Wann ist eine Menge / Folge beschränkt? | Wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt. |
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