17.01 Höhere Ableitungen

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Wie werden die höheren Ableitungen einer Funktion f bezeichnet?	mit \( f^(k) \) " die k-te Ableitung von f "
Wie werden höhere Ableitungen von Funktionen gebildet?	Indem jeweils von der Ableitung die Ableitung gebildet wird, bis das nicht mehr möglich ist.
Nenne zwei Beispiele von Funktionen, die man unendlich oft ableiten kann.	exp(x), sin(x)
Was besagt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung?	dass es im Graphen einer differenzierbaren Funktion f einen Punkt P geben muss, in dem die Tangente t parallel zur Sehne s liegt
Wie lautet der Mittelwertsatz formal? (Darstellung als Bruch)	ist f stetig und diff.bar auf [a , b] ==> gibt \(x_0\) mit \( f'(x_0) = \frac{ f(b) - f(a)}{b - a} \)
Wie lautet der Mittelwertsatz formal? (Darstellung ohne Bruch)	f(b) - f(a) = f'(x_0)(b - a)
Wie lautet der Satz von Rolle formal?	Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion, die im Inneren des Intervalls [a, b] differenzierbar ist. Sei f(a) = f(b). Dann gibt es einen Punkt x0 ∈ (a, b), sodass f'(x0) = 0 ist.
Ergänze: Funktionen deren Ableitung gleich sind, unterscheiden sich ...?	nur durch eine additive Konstante
Ergänze: Die e-Funktion ist die einzige Funktion bei der..	Funktion und Ableitung gleich sind und f(0) = 1 ist.
Kann es noch andere Funktionen geben, die die gleichen Eigenschaften wie Sinus und Cosinus haben?	Nein.
Wie verläuft der Graph einer Funktion auf einem Intervall, wenn dort f'(x) > 0 gilt?	sie steigt dort streng monoton
Wie verläuft der Graph einer Funktion in einem Intervall, wenn dort f'(x) \( \leq \) 0 ist ?	monoton fallend.
Wann liegt an einer Stelle \( f'(x_0) = 0 \) auch wirklich ein Maximum vor?	wenn dort der Funktionswert größer gleich aller Anderen in einer entsprechenden delta- Umgebung dazu ist
Warum reicht f'(x) = 0 nicht als einzige Bedingung für ein Extremum?	Weil dort z.B. auch ein Sattelpunkt wie bei \( x^3 \) sein kann.
Welchen Wert muss die zweite Ableitung einer Funktion an einer Stelle \( x_0 \) haben, damit dort ein Maximum vorliegt? vorausgesetzt: \( f'(x_0) = 0 \)	\( f''(x_0) < 0 \) der Graph ist sozusagen im Uhrzeigersinn gekrümmt "rechts drehend"
Welchen Wert muss die zweite Ableitung einer Funktion an einer Stelle \( x_0 \) haben, damit dort ein Minimum vorliegt? vorausgesetzt: \( f'(x_0) = 0 \)	\( f''(x_0) > 0 \) der Graph ist sozusagen entgegen den Uhrzeigersinn gekrümmt "links drehend"
Wann liegt an einer Stelle \( f'(x_0) = 0 \) auch wirklich ein Minimum vor?	wenn dort der Funktionswert kleiner gleich aller Anderen in einer entsprechenden delta- Umgebung dazu ist
Wozu dient die Regel von de l'Hospital?	Um Grenzwerte von Funktionen zu bestimmen, bei denen Zähler und Nenner gegen 0 streben.
Was ist die Voraussetzung, um die Regel von de L'Hospital zu Grenzwertbestimmung überhaupt anwenden zu können?	Die Funktion lässt sich wie folgt als Bruch schreiben: \( \frac { f(x)} { g(x) } \) und dass die Grenzwerte von f(x) und g(x) gegen die zu untersuchende Stelle 0 sind
Was besagt die Regel von de l'Hospital?	Dass man zur Bestimmung des Grenzwerts eines Quotienten bei dem Zähler und Nenner gegen 0 streben stattdessen auch den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen benutzen kann. \( \lim\limits_{x \to a} \frac { f(x) } { g(x) } = \lim\limits_{x \to a} \frac { f'(x)}{g'(x)} \)

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