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Cônicas

será estudado aspectos da geometria plano no plano "pi"
agora será o subconjunto V"pi" dos vetores paralelos a pi
o par de sigma=(O,E) é o sistema de coordenadas em "pi", também indicado por (O,u,v)
r pode ser descrita por uma única equação da forma y=mx+n chamada de equação reduzida. em que o número "m" é conhecido como coeficiente angular de r. retas paralelas têm angulares iguais : se m e m' são respectivamente, os coeficientes angulares das retas r e s (não paralelas a oy), elas são perpendiculares se, e somente se, mm' = - 1.
definição e equações reduzidas
1. ELIPSE
  1. seja F1 e F2 focos da elipse; 2c distancia focal; d(X,F1)+d(X,F2)=2a em que a > c; segmento F1F2 chamado de segmento focal o seu ponto médio é o centro da elipse; reta F1F2 chamado de reta focal.
  2. uma elipse é definida por dois focos "F1" e "F2" e um numero real "a"
  3. equação reduzida x²/a² + y²/b² = 1
  4. d(X,F1) = l xc/a + a l assim como d(X,F2) = l xc/a - al
    1. d(X,F1) = a + cx/a assim como d(X,F2) = a - cx/a
  5. a elipse é limitada e para evidenciar tais conclusões existe o retângulo fundamental, a coroa fundamental e por consequência a elipse está contida na interseção do retângulo fundamental com a coroa fundamental.
  6. a elipse é simétrica em relação à reta focal,(Ox) à mediatriz do segmento focal(Oy) e ao centro (O)
  7. (x,0) é solução se, e somente se,x = a ou x = -a / (0,y) é solução se, e somente se, y = b ou y = -b.
  8. a elipse não é uma circunferência nem um conjunto vazio.
  9. y = b/a raiz a² - b²
  10. os pontos A1,A2,B1,B2 são vértices da elipse. A1A2 é o eixo maior e B1B2 é o eixo menor, sendo a amplitude focal a parte onde se encontra o foco
  11. x²/b² + y²/a² =1 quando o foco está no eixo y
    1. x²/b² - y²/a² = 1 quando mudamos o eixo dos focos
  12. x²/p + y²/q descreve uma elipse em relação ao sistema ortogonal de coordenadas sigma se, e somente se, os números reais p e q são distintos e positivos
    1. se p > q, então a² = p, b² = q e E tem centro e foco em Ox / se q > p, então a² = q, b² = p e E tem centro e foco em Oy
2. hipérbole
  1. F1 e F2 focos, 2c sua distância, a numero real tal que 0<a<c ld(X,F1) - d(X,F2)l = 2a está em modulo pois pode ser que x seja igual a "a" ou "-a"
    1. OA1 = a ou OA2 = a
  2. x²/a² - y²/b² = 1 equação reduzida das hipérbole
  3. c² = a² + b²
  4. d(X,F1) = cx/a + a ; d(X,F2) = cx/a - a
  5. a hipérbole não é limitada
  6. os pontos A1 e A2 da hipérbole são os chamados vértices
  7. A1A2 é o eixo transverso e B1B2 é o eixo conjugado
  8. - x²/b² + y²/a² = 1 quando mudamos o eixo dos focos
  9. x²/p + y²/q = 1 descreve uma hipérbole se, e somente se, os numero reais p e q são de sinais contrários
    1. se p > 0 e q < 0 então a²=p, b² = -q e H tem centro O e focos em Ox / se p < 0 e p > 0, então a² = q, b² = -p e H tem centro O e focos em Oy
3. Parábola
  1. o lugar geométrico P dos pontos equidistantes de F e r chama-se parábola
    1. "F" é o foco e "r" é a reta diretriz
  2. a reta que contem o foco e é perpendicular a reta diretriz é chamada de eixo
  3. sendo H o ponto de interseção do eixo com a reta diretriz, o ponto médio de HF é chamado de vértice
  4. y² = 4px é a equação reduzida da parábola P
    1. y² = - 4px quando o foco pertence ao semi-eixo negativo das abscissas
  5. a parábola não é limitada
  6. a parábola é simétrica ao eixo Ox
  7. o vértice "V" é o único ponto de interseção da parábola com seu eixo
  8. o triangulo fundamental da parábola é isósceles, de base igual à amplitude focal e altura igual ao parâmetro p.
  9. x² = 4py ou x² = - 4py quando o foco se encontra no eixo das ordenadas
  10. as equações y² = qx e x² = qy descrevem uma parábola se q != 0.
Cônicas
1. são curvas planas descritas por uma equação do 2° grau em duas variáveis. apresentam-se métodos para reconhecer e esboçar tais curvas
2. DEFINIÇÃI DE CÔNICAS
  1. chama-se cônica o lugar geométrico dos pontos X=(x,y) que satisfazem uma equação de segundo grau g(x,y)=0 em que g(x,y)=ax²+bxy+cy²+dx+ey+f
  2. condição: a,b,c tem que pelo menos um ser diferente de ZERO
  3. ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 é uma equação da cônica
  4. ax²,bxy,cy² são os termos quadráticos, sendo bxy termo quadrático misto.. dx e ey termos lineares e por ultimo f o termo independente.
  5. um subconjunto de pi é uma cônica se: for um conjunto vazio, ou o conjunto formado por um ponto, ou uma reta, ou a reunião de duas retas(paralelas ou concorrentes), ou uma circunferência, ou uma elipse, ou uma hipérbole, ou uma parábola.
quádricas
1. qualquer subconjunto ômega de E³ que possa ser descrito por uma equação do segundo grau: ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j
2. existe uma condição sobre a equação do segundo grau, em que a,b,c,d,e,f tem que pelo menos um ser diferente de ZERO
3. Elipsóide
  1. uma quádrica ômega é um elipsóide se existem números reais positivos a,b,c pelo menos dois deles distintos, e um sistema ortogonal de coordenadas em relação ao qual ômega pode ser descrita pela equação x²/a²+y²/b²+z²/c²=1
    1. caso a,b ou c sejam iguais ômega seria uma superficie esferica de centro(0,0,0) e raio a)
  2. conhecer as fatias ajuda a descobrir o aspecto do pão, ou seja, examinando suas interseções com planos paralelos aos planos coordenados.
  3. interseção de ômega com o plano pi: z=k, paralelo a Oxy, é descrita pelo sistema formado pelas equações de ômega e pi -> x²/a²+y²/b²=1 - k²/c² sendo z=k
    1. conjunto não vazio quando k²<=c² isto é -c <= k <= c.
    2. k=c ponto (0,0,c) e k=-c ponto (0,0,-c)
    3. k² < c² ,isto é, -c < k < c, x²/pa²+y²/pb²=1 sendo z=k e dividindo todos por p=1-k²/c²
      1. a=b, será uma circunferência contida em pi de centro (0,0,k) e raio "a" raiz de p
      2. a > b, elipse contida em pi de centro (0,0,k) com focos na reta r:X=(0,0,k)+lambda(1,0,0) paralela a ox.
      3. a < b, elipse contida em pi de centro (0,0,k) com focos na reta r:X=(0,0,k)+lambda(0,1,0) paralela a oy.
4. Hiperbolóide
  1. HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA é descrito pela equação x²/a² + y²/b² - z²/c²=1
  2. examinando a interseção as interseções de planos paralelos com planos coordenados.
  3. x²/a² + y²/b² = 1 + k²/c² sendo z=k tendo em vista que descreve a interseção de ômega com um plano paralelo a Oxy pi: z=k
    1. x²/pa² + y²/pb² = 1 sendo z=k é uma equação equivalente. pois foi dividida por p=1+k²/c² (quando a != b)
      1. a = b descreve uma circnferência contida em pi, de centro (0,0,k) e raio a raiz p.
      2. a > b descreve uma elipse contida em pi, de centro (0,0,k) paralela a Ox é X=(0,0,k) + lambda(1,0,0)
      3. a < b descreve uma elipse contida em pi de centro (0,0,k) paralela a Oy é s: X = (0,0,k) + lambda((0,1,0).
    2. a interseção mínima é quando k=0 e pi é o plano Oxy. x²/a² + y²/b² = 1
    3. a interseção de ômega com o plano pi: y=k (Oxz) x²/a2 - z²/c² = 1 + k²/b²
      1. caso k² = b² será a interseção de duas retas. x²/a² - z²/c² = 0 --> (x/a - z/c)(x/a+z/c) = 0
      2. dividindo tudo por p=1 - k²/b² --> x²/pa² - z²/pc² = 1 (HIPERBÓLE)
    4. x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1 ou x²/a² - y²/b² + z²/c² = 1 ou -x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. o que as distingue é a ocorrência do sinal "-", ora no termo em x², ora no termo em y², ora no termo em z2. assim, o que ocorre com z na primeira equação ocorre iagualmente com y na segunda e com x na terceira. em particular, o eixo distinguido no caso da primeira é Oz, no da segunda é Oy e no caso da terceira Ox.
  4. HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
    1. representada por - x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
      1. o Oy é o unico dos eixos que intersepta o hiperbolóide de duas folhas, é chamado de eixo distinguido e possui o sinal positivo.
    2. quando z = k paralelo a Oxy; - x²/pa² + y²/pc² = 1 dividindo por p = 1 + k²/c²
    3. quando x = k paralelo a Oyz; y²/pb² - z²/pc² = 1 dividindo p = 1 + k²/a²
    4. quando y = k paralelo a Oxz; x²/a² + z²/c² = k²/b² - 1 foi multiplicado por (-1). quando k² > b² dividiremos a equação por p = k²/b² - 1
      1. origina: x²/pa² + z²/pc² = 1, lembrando y = k
  5. PARABOLÓIDE
    1. sua equação reduzida é: z = x²/a² + y²/b², quando "a!=b" é parabolóide elíptico e "a=b" é parabolóide de rotação.
    2. ômega é simetrico apenas no eixo Oz, ele é chamado de eixo de simetria de ômega..
    3. vértice de ômega é seu ponto de interseção com o eixo de simetria.
    4. quando x ou y for uma constante será uma parábola, por outro lado quando z for contante será uma hielipse.
      1. sendo z= k e k > 0: caso "a = b" formará uma circunferência contida em pi; caso "a > b" formará uma elipse contida em pi.
    5. PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO
      1. é descrita pela equação z = - x²/a² + y²/b²
      2. aqui Oz é o eixo de simetria de ômega

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