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Descripción
Fichas por Nathalie Teuber, actualizado hace más de 1 año
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Creado por Nathalie Teuber
hace casi 7 años
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| Pregunta | Respuesta |
| Wie lässt sich die erste Ableitung geometrisch interpretieren? | Die erste Ableitung an einer Stelle x_0 liefert die Steigung der Ausgangsfunktion f(x) an der Stelle x_0 bzw. im Punkt (x_0/f(x_0)). Visualisiert werden kann die Steigung, indem man die Tangente einzeichnet. Eine positive Steigung heißt, dass der Graph steigt, eine negative, dass der Graph fällt. |
| Erläutere, wie du die Steigung von f(x)=x²+3x im Punkt (1/4) ermittelst. | Ich berechne f'(x)=2x+3 und setze den x-Wert ein: f'(1)=2*1+3=5 Also hat f(x) im Punkt (1/4) die Steigung 5. Das ist schon ziemlich steil. Achtung: Den y-Wert 4 habe ich gar nicht gebraucht. |
| Erläutere, wie du nachweist, dass der Graph von f(x) an der Stelle x_0 fällt. | Ich berechne die Ableitung f'(x) und rechne nach, dass f'(x_0) negativ ist. |
| In welchem der Punkte ist der Graph von f(x)=x²+0,5x steiler, in P(1/1,5) oder in Q(-2/3)? | f'(x)=2x+0,5 Steigung in P(1/1,5): f'(1)=2,5 Steigung in Q(-2/3): f'(-2)=-3,5 In P steigt der Graph, in Q fällt er, aber steiler ist der Graph in Q, weil |-3,5|=3,5 > 2,5 ist. |
| Was weißt du über die Steigung in Hoch- und Tiefpunkten? | In Hoch- und Tiefpunkten, also in Extrempunkten, ist die Steigung = 0, also f'(x)=0. |
| Gibt es neben Hoch- und Tiefpunkten noch andere Punkte, in denen die Steigung Null ist? | Ja, Sattelpunkte. |
| Erläuter das Verfahren zu Extrempunktberechnung. | 1: Ich berechne die ersten beiden Ableitungen f'(x) und f''(x) 2: Ich berechne die Nullstellen der ersten Ableitung: f'(x)=0 Das liefert mir die kritischen Stellen. An kritischen Stellen liegt entweder ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt. 3: Ich teste die kritische Stellen, indem ich sie in die zweite Ableitung einsetze: Ist die zweite Ableitung an einer kritischen Stelle - negativ, so ist dort ein HP - positiv, so ist dort ein TP - gleich 0, so kann ich noch keine Aussage treffen. 4: Die fehlende y-Koordinate erhalte ich durch Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunkion f(x). |
| Welche Bedeutung hat die zweite Ableitung? | Mit der zweiten Ableitung kann die Krümmung der Ausgangsfunktion berechnet werden. In linksgekrümmten/konvexen Bereichen ist die zweite Ableitung positiv oder Null. In rechtsgekrümmten/konkaven Bereichen ist die zweite Ableitung negativ oder Null. |
| Welche Bedeutung haben Wendepunkte? | 1: In Wendepunkten ändert sich die Krümmung. Übergang von Links- in Rechtkrümmung oder umgekehrt. 2: In Wendepunkten ist die Steigung lokal maximal (falls der Graph dort steigt) oder lokal minimal (falls der Graph dort fällt). In jedem Fall ist der Graph dort lokal am steilsten. |
| Erläutere das Verfahren zur Bestimmung von Wendepunkten. | 1: Ich berechne die ersten drei Ableitungen f'(x), f''(x) und f'''(x). 2: Ich berechne die Nullstellen der zweiten Ableitung: f''(x)=0 Das liefert mir die kritischen Stellen für Wendepunkte. An den so gefundenen Stellen kann ein Wendepunkt liegen, muss aber nicht. 3: Ich teste die gefundenen Stellen, indem ich sie in die dritte Ableitung einsetze: Ist die dritte Ableitung dort - ungleich 0, so ist dort sicher ein WP - gleich 0, so kann ich noch keine Aussage treffen. 4: Die fehlende y-Koordinate des WP erhalte ich durch Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunkion f(x). |
| Wie berechne ich die Steigung in einem Wendepunkt WP(x_0/y_0)? | Ich setze den x-Wert in die erste Ableitung ein, so wie ich es bei jedem anderen Punkt auch tun würde. |
| Erläutere das Verfahren zur Aufstellung der Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (x_0/y_0). | 1: Ansatz: y = mx + b 2: m = f'(x_0) -> Ich habe m und setze es in meinem Ansatz ein. 3: y_0 = m * x_0 + b nach b auflösen. -> Ich habe b. 4: Noch mal sauber hinschreiben: Tangente an f(x) in (x_0/y_0): y = mx + b (berechnete Werte einsetzen) |
| Wie berechen ich den Schnittwinkel einer Funktion f(x) mit der x-Achse? | 1: Nullstelle von f(x) berechnen: x_0 2: Nullstelle in erste Ableitung einsetzen: m = f'(x_0) 3: Winkel ausrechen: alpha = tan⁻¹(m) 4: Ist alpha > 90°, nimm den Ergänzungswinkel beta = 180° - alpha. |
| Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren: | Der Graph ist eine Parabel. Ich mache den Ansatz: f(x)=ax²+bx+c Besser noch wähle ich die Scheitelpunktform, wenn ich den Scheitelpunkt und die Streckung/Stauchung ablesen kann: f(x)=a(x-x_S)²+y_S Oder die Nullstellenform, wenn ich die Nullstellen und die Streckung/Stauchung ablesen kann: f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) |
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Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren:
Image:
Hoch3 (binary/octet-stream)
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Die Funktion hat zwei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 3 sein. Daher mache ich den Ansatz: f(x)= ax³+bx²+cx+d |
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Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren:
Image:
Hoch4 (binary/octet-stream)
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Die Funktion hat drei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 4 sein. Daher mache ich den Ansatz: f(x)= ax⁴+bx³+cx²+dx+e |
| Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren: | Die Funktion hat drei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 4 sein. Außerdem ist der Graph achsensymmetrisch. Daher mache ich den Ansatz: f(x)= ax⁴+bx²+c (nur gerade Exponenten) |
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