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Descripción
Mapa Mental por katherine Melo, actualizado hace más de 1 año
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Creado por katherine Melo
hace casi 5 años
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Base y dimensión de un
espacio vectorial
- Base de un espacio vectorial
- Una base es un conjunto de vectores linealmente
independientes y que son capaces de generar cualquier vector
de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base
estará formada por dos vectores linealmente independientes.
- COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE: Las
coordenadas de un vector respecto de una base son los escalares por los
que hay que multiplicar los vectores de la base de forma que
representen al vector dado mediante una combinación lineal de dichos
vectores de la base
- COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE: Las
coordenadas de un vector respecto de una base son los escalares por los
que hay que multiplicar los vectores de la base de forma que
representen al vector dado mediante una combinación lineal de dichos
vectores de la base
- Propiedades de las bases:1. Una base de S es un sistema generador
minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto
independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una
base de S permite expresar todos los vectores de S como
combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
- Una base es un conjunto de vectores linealmente
independientes y que son capaces de generar cualquier vector
de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base
estará formada por dos vectores linealmente independientes.
- Dimensión de un espacio vectorial
- Llamamos dimensión de un espacio
vectorial al número de vectores que
forman una base del espacio
vectorial.
- Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el
mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho
espacio o subespacio. • Por tanto, la dimensión es el
máximo número de vectores independientes que podemos
tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el
máximo rango que puede tener un Es también el rango de
cualquier sistema generador de dicho espacio. conjunto de
vectoresde dicho espacio.
- Propiedades de la dimensión. 1. Significado físico de la
dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos
dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto
dimensión 0. El subespacio {0} es el único de
dimensión 0. 2. La dimensión de un subespacio en ℜn ,
coincide con el número de parámetros libres en su
forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2
parámetros= plano...) 3. Si S y T son subespacios y S
está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T. Además,
si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos
espacios han de coincidir. 4. El rango de una familia de
vectores, es igual a la dimensión del subespacio que
generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto
subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r,
entonces dim S = r.
- Propiedades de la dimensión. 1. Significado físico de la
dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos
dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto
dimensión 0. El subespacio {0} es el único de
dimensión 0. 2. La dimensión de un subespacio en ℜn ,
coincide con el número de parámetros libres en su
forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2
parámetros= plano...) 3. Si S y T son subespacios y S
está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T. Además,
si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos
espacios han de coincidir. 4. El rango de una familia de
vectores, es igual a la dimensión del subespacio que
generan. Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto
subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r,
entonces dim S = r.
- Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el
mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho
espacio o subespacio. • Por tanto, la dimensión es el
máximo número de vectores independientes que podemos
tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el
máximo rango que puede tener un Es también el rango de
cualquier sistema generador de dicho espacio. conjunto de
vectoresde dicho espacio.
- Teorema y definición: Dimensión
- Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m, • un
conjunto de más de m vectores nunca puede ser linealmente
independiente. • un conjunto de menos de m vectores nunca
puede ser sistema generador. Así pues, por ejemplo, 3 vectores
en ℜ 2 podrán ser o no sistema generador de ℜ 2 , pero nunca
podrán ser linealmente independientes. Del mismo modo, 2
vectores en ℜ 3 podrán ser linealmente independientes o no,
pero nunca serán sistema generador de ℜ 3 (aunque sí podrán
serlo de un subespacio más pequeño).
- Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m, • un
conjunto de más de m vectores nunca puede ser linealmente
independiente. • un conjunto de menos de m vectores nunca
puede ser sistema generador. Así pues, por ejemplo, 3 vectores
en ℜ 2 podrán ser o no sistema generador de ℜ 2 , pero nunca
podrán ser linealmente independientes. Del mismo modo, 2
vectores en ℜ 3 podrán ser linealmente independientes o no,
pero nunca serán sistema generador de ℜ 3 (aunque sí podrán
serlo de un subespacio más pequeño).
- Llamamos dimensión de un espacio
vectorial al número de vectores que
forman una base del espacio
vectorial.
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