El estudio del algebra lineal, una de las centrales o independencias lineal de vectores, Esta sección se define y se
muestra su relaciona con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes
Dependencia e independencia lineal
Se dice que los vectores v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de
vectores {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente (o dependiente). Esto es, se usan las dos frases
indistintamenteDos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno de ellos es
un múltiplo escalar del otro.
Dos vectores linealmente dependientes en R4
Dos vectores linealmente dependientes en R3
Determinación de la dependencia o independencia lineal de tres
vectores en R3
Determinación de la dependencia lineal de tres vectores en R3
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DEPENDENCIA LINEAL EN R3
se encontraron tres vectores en 3 que eran linealmente
independientes. En el ejemplo 4 se encontraron tres vectores que
eran linealmente dependientes.
Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares.
Cuatro vectores en R3 que son linealmente dependientes
Cuatro vectores en R3 que son linealmente dependientes
son linealmente dependientes ya que constituyen un
conjunto de cuatro vectores de 3 elementos. Existe un
corolario importante (y obvio) del teorema 2.
Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.
Soluciones a un sistema homogéneo escritas como combinaciones lineales de vectores solución linealmente
independientes
son soluciones linealmente independientes para (9) porque ninguno de los dos es múltiplo del otro (el lector
debe verificar que sean soluciones). Como x3 y x4 son números reales arbitrarios, se ve de (10) que el conjunto
de soluciones al sistema (9) es un subespacio de 4 generado por estos dos vectores solución linealmente
independientes
Tres vectores en R3 generan R3 si su determinante es diferente de cero
Todos los ejemplos que se han dado hasta ahora han sido en el espacio n. Esto no representa una restricción tan grande como parece.
En la sección 5.4 (teorema 6) se demostrará que diferentes espacios vectoriales de apariencia muy distinta tienen, en esencia, las
mismas propiedades. Por ejemplo, se verá que el espacio Pn es fundamentalmente el mismo que n11. Se dirá que dos espacios
vectoriales con esta forma son isomórficos.
Tres matrices linealmente independientes en M23
Cuatro polinomios linealmente independientes en P3
En P3 determine si los polinomios 1, x, x2 y x3 son linealmente dependientes o independientes, de manera que
el sistema tiene una solución única c1 5 c2 5 c3 5 c4 5 0 y los cuatro polinomios son linealmente independientes.
Esto se puede ver de otra forma. Se sabe que cualquier polinomio de grado 3 tiene a lo más tres raíces reales.
Pero si c1 1 c2x 1 c3x2 1 c4x3 5 0 para algunas constantes diferentes de cero c1, c2, c3, y c4 y para todo número
real x, entonces se ha construido un polinomio cúbico para el que todo número real es una raíz, lo cual es
imposible.
Tres polinomios linealmente independientes en P2
En P2, determine si los polinomios x 2 2x2, x2 24x y 27x 1 8x2 son linealmente dependientes o independientes.