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1. QUE ES LA RAÍZ Muchos de quienes tratan esta materia hablan de raíz o de radical , usados como sinónimos. Mientras esto no afecte la comprensión del concepto no hay problema. En estricto rigor, raíz es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces para presentarse como un número determinado. Para encontrar esa cantidad que se multiplica se recurre a la operación de extraer la raíz a partir del número determinado y se ejecuta utilizando el símbolo √ , que se llama radical . Por ello es que se habla de operaciones con radicales al referirse a operaciones para trabajar con raíces. Encontrar o extraer la raíz es realizar la operación contraria o inversa de la potenciación, así como la suma es la operación inversa de la resta y viceversa, y la multiplicación es la operación contraria de la división y viceversa.
2. PROPORCIONES La proporción muestra los tamaños relativos de dos o más valores.Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando el ":" para separar los valores, o como un solo número dividiendo un valor para el total. Ejemplo: si hay un niño y tres niñas la proporción podría escribirse así: 1:3 (por cada niño hay 3 niñas) 1/4 son niños y 3/4 son niñas 0.25 son niños (dividiendo 1 por 4) 25% son niños (0.25 como porcentaje)
  1. PROPORCIÓN DIRECTAS Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o x e y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que Y = KX La relación a menudo se denota Y ∝ Xy la razón constante K= Y/X es llamada constante de proporcionalidad. OTRO CONCEPTO Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción. EJEMPLO: Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio
  2. PROPORCIÓN INDIRECTA Cuando las variables independiente y dependiente son inversamente proporcionales, es decir cuando aumenta la variable independiente la variable dependiente disminuye en la misma proporción, y cuando disminuye la variable independiente la variable dependiente aumenta en la misma proporción, entonces la función que las relaciona se dice que es de proporcionalidad inversa.
3. REGLA DE 3 La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita, estableciendo una relación de proporcionalidad entre todos ellos. Es decir, lo que se pretende con ella es hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres. En la regla de tres simple se establece, por tanto, la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B , y conociendo un tercer valor C, se calcula un cuarto valor D.
  1. REGLA DE TRES DIRECTA Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se dé a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud.
  2. REGLA DE TRES INDIRECTA En la regla de tres simple inversa,5 en la relación entre los valores se cumple que: donde e es un producto constante. Para que esta constante se conserve, un aumento de A necesitará una disminución de B, para que su producto permanezca constante. Esta relación puede representarse de la forma: Que se dice que A es a B inversamente proporcional, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.
expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
1. PASCAL El triángulo de Pascal es un arreglo de números con el que se puede hallar los coeficientes de expresiones de la forma (a ± b)n, donde n es un número natural. En el triángulo de Pascal, cada fila empieza y termina en 1. Los demás números se obtienen sumando los dos números que se encuentran exactamente sobre él, ubicados en la fila inmediatamente superior.
2. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS En muchas ecuaciones tenemos términos que son semejantes, es decir, que poseen el mismo factor literal y muchas también poseen constantes, términos que no tienen una variable y que también son considerados semejantes entre ellos. Una expresión algebraica estará en su forma reducida si no posee términos semejantes ni paréntesis.
3. SUMA Y RESTA Suma o adición de polinomios y monomios. Se muestra con ejemplos resueltos como proceder a sumar expresiones algebraicas, sean monomios o polinomios. Para ambos casos el proceso es igual, al final se deberán reducir los términos semejantes. En el caso de los polinomios se muestra que existen dos posibilidades (desde la forma) de como realizar la suma y se pone de manifiesto cual debe considerarse la más simple a la hora de efectuar la suma. En este video veremos la suma de expresiones algebraicas, se hará énfasis en la suma de monomios y polinomios. Hasta el momento, hemos visto dos tipos de operaciones que se pueden efectuar cuando se tienen expresiones algebraicas, una de ellas es la reducción de términos semejantes y la segunda es la evaluación que consiste en encontrar el valor numérico de una expresión algebraica. Para comenzar con este nuevo tipo de operación algebraica expliquemos en que consiste la suma de monomios.
4. TRINOMIO El término se emplea en el ámbito de las matemáticas con referencia a la expresión algebraica formada por tres términos que están vinculados por los signos menos (–) o más (+). Los trinomios son polinomios: expresiones compuestas por una cantidad finita de constantes (números) y variables (incógnitas), vinculadas entre sí a través de la multiplicación, la resta y/o la suma. En específico, los trinomios son polinomios formados por tres monomios (expresiones de un único término).
5. BINOMIO Un binomio (del latín “bi” en el sentido de dos, más “nomos” término griego que designa una parte del todo) es una expresión algebraica que se compone de dos términos, donde se enlazan dos monomios que se suman o restan (a+b) o (a-b). Todo binomio es un polinomio, pero las expresiones algebraicas pueden contar con más de dos términos por lo cual existen polinomios que no son binomios, de tres, cuatro o más términos
6. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica de un solo término. Se compone de coeficiente y literal, el coeficiente puede ser un número entero, o fraccionario. La literal puede estar elevada a una potencia. Por ejemplo: 7x^2 El número 7 es el coeficiente, x es la literal y está elevada al cuadrado. Pero, también hay monomios con más de una literal: x^2z^3
7. LEY DE SIGNOS La Ley de los Signos es la ley que establece cómo se comportan los signos de los números en el momento de las operaciones matemáticas. Si esta ley se aplica correctamente, se garantiza un resultado correcto en cualquier suma, resta, multiplicación y división que se realice. A dicha ley le concierne el sentido que tendrían los números en una recta numérica, y utiliza los signos “+” y “-”, siendo el signo “+” nombrado como “más” y correspondiendo a los números positivos; y el signo “-“, de nombre “menos”, correspondiente a los números negativos. Se pueden establecer indicaciones para la Ley de los Signos, que quedarán como sigue para Sumas y Restas: “En signos iguales, habrá acumulación” “En signos opuestos, los valores se contrarrestan”
ECUACIONES CLASIFICADOS Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado de la incógnita (la variable). El grado de un monomio o el de una expresión algebraica es un valor referido a los exponentes de las variables
1. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO , CON UNA INCÓGNITA Las Ecuaciones de primer grado de una incógnita son igualdades en las que se tiene sólo una incógnita. Esta incógnita está representada por una letra o algún otro símbolo. Las ecuaciones de primer grado suele llamárseles también ecuaciones lineales, pues su gráfica es una línea recta. En este caso particular, de ecuaciones de una incógnita, las gráficas de estas ecuaciones son líneas perfectamente horizontales o verticales. Resolver una ecuación linear de una incógnita es encontrar el valor (o los valores) que satisface la ecuación, es decir, el valor que al sustituirlo por la variable se confirma que los dos miembros de la ecuación son verdaderamente iguales. El procedimiento para encontrar este valor se llama Despeje.
2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado12 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación.
3. SIMPLIFICAR RADICALES Para trabajar con expresiones que nos sean cómodas existen procesos que nos simplifican los raíces. Veamos cuales son: Si se multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) el índice y el exponente de un radical por un mismo número no nulo, el radical que se obtiene es equivalente al primero. Es decir, los radicales son equivalentes porque los exponentes de las potencias asociadas son fracciones equivalentes
4. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO, CON DOS INCÓGNITA Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera: Ax + By = C ; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales. Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormete estudiadas.
  1. MÉTODOS Método de reducción reducción: consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así obtenemos una ecuación con una sola incógnita.se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
FACTORIZACION En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de los factores juntos polinómicas a un polinomio "ampliado", escrito como una simple suma de términos. El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra.
1. DIFERENCIA DE CUADRADOS Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Diferencia de cuadrados a2 - b2 = (a + b)·(a - b) En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario: Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. Pasos: Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).
2. FACTOR COMÚN (a-b)2 =a2 -2ab +b2 Cuando se multiplica dos o más números para formar un producto, cada número se llama factor del producto. Recordemos que la palabra factor está ligada a la operación multiplicación. Para determinar todos los factores enteros de un número, se usa la descomposición en factores primos del número y con estos se construye un diagrama de árbol, como se muestra en el esquema de la figura. El producto de los números en cada rama es un factor del número original.
3. TRINOMIO CUADRADO Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
4. TRINOMIO CUADRADO Un trinomio es un polinomio de la forma (ax + by + c), elevado al cubo quiere decir que se multiplica por sí mismo tres veces. Elevémoslo primero al cuadrado. La multiplicación de dos polinomios puede hacerse del mismo modo que una multiplicación de dos números, siempre que cuidemos de no mezclar términos
5. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2 surge de elevar al cuadrado un binomio: Resulta un trinomio con dos términos "cuadráticos" y un término "rectangular", enlazados con una visión geométrica de las áreas de un cuadrado y de rectángulo. Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Siendo la regla: el cuadrado de cualquier binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones presentadas: El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable. Dos de los términos son cuadrados perfectos. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás. El primer y tercer término deben de
6. SUMA Y RESTA DE CUBOS PERFECTOS La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo explicativo:

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